如图，在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，$AB=AC=2$，$A_1A=4$，$A_1$ 在底面 $ABC$ 的射影为 $BC$ 的中点，$D$ 是 $B_1C_1$ 的中点．
【难度】
【出处】
2015年高考浙江卷（文）
【标注】
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证明：$A_1D\perp 平面A_1BC$；标注答案略解析本题在底面内找到与 $A_1D$ 平行的线段 $AE$，然后利用等腰三角形、投影等条件先证 $AE$ 与平面 $A_1BC$ 垂直，即可得到 $A_1D$ 和平面 $A_1BC$ 垂直．设 $ E $ 为 $ BC $ 的中点，连接 $ A_1E $，$AE $，$DE $．
由题意得 $ A_1E\perp 平面ABC $．
又因为 $ AE \subset 平面 ABC $，所以 $ A_1E\perp AE $．
因为 $ AB=AC $，所以 $ AE\perp BC $．
又因为 $A_1E \cap BC=E $，$A_1E\subset 平面 A_1BC $，$BC\subset 平面 A_1BC $．
所以 $ AE\perp 平面A_1BC $．
由 $ D$，$E $ 分别为 $ B_1C_1 $，$ BC $ 的中点，
得 $ DE\parallel B_1B $ 且 $ DE=B_1B $，从而 $ DE\parallel A_1A $，$ DE=A_1A $，
所以四边形 $ A_1AED $ 为平行四边形．
故 $ A_1D\parallel AE $．
又因为 $ AE\perp 平面A_1BC $，
所以 $ A_1D\perp 平面A_1BC $． -
求直线 $A_1B$ 和平面 $BB_1C_1C$ 所成的角的正弦值．标注答案$\dfrac{\sqrt 7}8$解析本题需要找到 $A_1$ 到平面 $BB_1C_1C$ 的距离，注意到 $BC$ 垂直于平面 $AA_1DE$，所以只要作 $A_1F\perp DE$，然后证明 $A_1F\perp 平面BB_1C_1C$，最后求出 $A_1F$ 和 $A_1B$ 的长，即可求得结果．作 $A_1F\perp DE$，垂足为 $F$，连接 $BF$．
因为 $A_1E\perp 平面ABC$，所以 $BC\perp A_1E$．
因为 $BC\perp AE$，$AE\cap A_1E=E$，
所以 $BC\perp 平面AA_1DE$．
所以 $BC\perp A_1F$．
又因为 $DE\cap BC=E$，所以 $A_1F\perp 平面BB_1C_1C$．
所以 $\angle A_1BF$ 为直线 $A_1B$ 和平面 $BB_1C_1C$ 所成的角．
由 $AB=AC=2$，$\angle CAB=90^\circ$，得 $EA=EB=\sqrt 2$．
由 $A_1E\perp 平面ABC$，得 $A_1A=A_1B=4$，$A_1E=\sqrt{14}$．
由 $DE=BB_1=4$，$DA_1=EA=\sqrt 2$，$\angle DA_1E=90^\circ$，得 $A_1F=\dfrac{\sqrt 7}2$．
所以 $\sin\angle A_1BF=\dfrac{\sqrt 7}8$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
