$m<-\dfrac{\sqrt 6}3$ 或 $m>\dfrac{\sqrt 6}3$．

这是一道对称问题，关键是要利用中点坐标和垂直来表达对称的条件．由题意知 $m\neq 0$，可设直线 $AB$ 的方程为 $y=-\dfrac 1mx+b$，并设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$．
由 $\begin{cases}
\dfrac{x^2}2+y^2=1,\\
y=-\dfrac 1mx+b
\end{cases}$ 消去 $y$，得\[\left(\dfrac 12+\dfrac 1{m^2}\right)x^2-\dfrac{2b}mx+b^2-1=0.\]因为直线 $y=-\dfrac 1mx+b$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 有两个不同的交点，所以\[\Delta=-2b^2+2+\dfrac 4{m^2}>0, \quad \cdots \cdots ① \]且有\[\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac{-\frac{2b}m}{\frac 12+\frac 1{m^2}}=\dfrac{4mb}{m^2+2},\\x_1x_2=\dfrac{b^2-1}{\frac 12+\frac 1{m^2}}=\dfrac{2m^2\left(b^2-1\right)}{m^2+2}.\end{cases}\]于是 $AB$ 中点的横坐标为 $\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{2mb}{m^2+2}$，代入直线 $y=-\dfrac 1mx+b$ 可得其纵坐标为 $\dfrac{m^2b}{m^2+2}$．
将线段 $AB$ 中点 $M\left(\dfrac{2mb}{m^2+2},\dfrac{m^2b}{m^2+2}\right)$代入直线方程 $y=mx+\dfrac 12$ 解得\[b=-\dfrac{m^2+2}{2m^2}, \quad \cdots \cdots ② \]把 $ ② $ 代入 $ ① $，可解得 $m<-\dfrac{\sqrt 6}3$ 或 $m>\dfrac{\sqrt 6}3$．

$\dfrac{\sqrt 2}2$．

三角形的面积，利用弦长公式和点到直线的距离公式表达即可．令 $t=\dfrac 1m\in\left(-\dfrac{\sqrt 6}2,0\right)\cup \left(0,\dfrac{\sqrt 6}2\right)$，则由弦长公式可得\[{\left|{AB}\right|}=\sqrt{t^2+1}\cdot \dfrac{\sqrt{-2t^4+2t^2+\frac 32}}{t^2+\frac 12},\]$O$ 到直线 $AB$ 的距离为 $d=\dfrac{t^2+\frac 12}{\sqrt{t^2+1}}$．
设 $\triangle AOB$ 的面积为 $S\left(t\right)$，所以\[S\left(t\right)=\dfrac 12 {\left|{AB}\right|}\cdot d=\dfrac 12\sqrt{-2\left(t^2-\dfrac 12\right)^2+2}\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2,\]当且仅当 $t^2=\dfrac 12$ 时，等号成立．
故 $\triangle AOB$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．