题目 某同学用“五点法”画函数 $f\left(x\right)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)\left(\omega>0,{\left|{\varphi}\right|}<\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>\omega x+\varphi & 0 & \dfrac{\mathrm \pi} 2 & {\mathrm \pi} & \dfrac{3{\mathrm \pi} }2 & 2{\mathrm \pi} \\ \hline<br/>x & & \dfrac{\mathrm \pi} 3 & &\dfrac{5{\mathrm \pi} }6 & \\ \hline<br/>A\sin\left(\omega x+\varphi\right) & 0 & 5 & & -5 & 0 \\ \hline<br/>\end{array}\] 问题1 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f\left(x\right)$ 的解析式； 答案1 略 解析1 本题先根据正弦型函数的图象与性质得到 $A$，$\omega$，$\varphi$ 的值，然后利用五点作图法补全表格．根据表中已知数据，解得 $A=5$，$\omega=2$，$\varphi=-\dfrac{\mathrm \pi} 6$，数据补全如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>\omega x+\varphi & 0 & \dfrac{\mathrm \pi} 2 & {\mathrm \pi} & \dfrac{3{\mathrm \pi} }2 & 2{\mathrm \pi} \\ \hline<br/>x &\dfrac{\mathrm \pi} {12} & \dfrac{\mathrm \pi} 3 & \dfrac{7{\mathrm \pi} }{12} &\dfrac{5{\mathrm \pi} }6 &\dfrac{13}{12}{\mathrm \pi} \\ \hline<br/>A\sin\left(\omega x+\varphi\right) & 0 & 5 & 0 & -5 & 0 \\ \hline<br/>\end{array}\]且函数解析式为 $f\left(x\right)=5\sin\left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} 6\right)$． 备注1 问题2 将 $y=f\left(x\right)$ 图象上所有点向左平行移动 $\dfrac{\mathrm \pi} 6$ 个单位长度，得到 $y=g\left(x\right)$ 的图象．求 $y=g\left(x\right)$ 的图象离原点 $O$ 最近的对称中心． 答案2 $\left(-\dfrac{\mathrm \pi} {12},0\right)$． 解析2 本题考查三角函数的图象变换与性质，利用平移信息得到函数解析式，求解其对称中心．由（1）知 $f\left(x\right)=5\sin\left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} 6\right)$，所以 $g\left(x\right)$ 的解析式为\[g\left(x\right)=5\sin\left[2\left(x+\dfrac{\mathrm \pi} 6\right)-\dfrac{\mathrm \pi} 6\right]=5\sin{\left(2x+\dfrac{\mathrm \pi} 6\right)} .\]因为 $y=\sin x$ 图象的对称中心为 $\left(k{\mathrm \pi} ,0\right)$，$k\in{\mathbb{Z}}$．<br/>令\[2x+\dfrac{\mathrm \pi} 6=k{\mathrm \pi} , k\in{\mathbb{Z}},\]解得\[x=\dfrac{k{\mathrm \pi} }2-\dfrac{\mathrm \pi} {12} , k\in{\mathbb{Z}}.\]即 $y=g\left(x\right)$ 图象的对称中心为 $\left(\dfrac{k{\mathrm \pi} }2-\dfrac{\mathrm \pi} {12},0\right)$，$k\in{\mathbb{Z}}$，其中离原点 $O$ 最近的对称中心为 $\left(-\dfrac{\mathrm \pi} {12},0\right)$． 备注2