在平面直角坐标系中，当 $P(x,y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为 $P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{-x}{x^2+y^2}\right)$；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为它自身．平面曲线 $C$ 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 $C'$ 定义为曲线 $C$ 的“伴随曲线”，下列命题中的真命题有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
BC
【解析】
观察伴随点的坐标形式，考虑利用极坐标理解“伴随点”．设 $P(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$，其中 $\rho>0$，则其伴随点 $P'$ 为 $\left(\dfrac{1}{\rho}\sin\theta,-\dfrac{1}{\rho}\cos\theta\right)$，即 $\left(\dfrac{1}{\rho}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}2\right),\dfrac{1}{\rho}\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}2\right)\right)$．可以理解为将 $P$ 绕 $O$ 顺时针旋转 $\dfrac{\pi}2$ 得到点 $Q$，然后在射线 $OQ$ 上取 $P'$ 使得 $|OP'|=\dfrac{1}{\rho}$（可以看成关于单位圆反演），如图．
选项 A 取单位圆上的一点 $A$，那么它的“伴随点”$A'$ 的“伴随点”相当于将 $A$ 顺时针旋转 $\pi$ 得到的点，与点 $A$ 关于原点对称，命题错误；
选项 B 根据对“伴随点”的几何解释，命题正确；
选项 C 若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，那么曲线 $C$ 顺时针旋转 $\dfrac{\pi}2$ 后得到的曲线 $D$ 必然关于 $y$ 轴对称，此时将曲线 $D$ 关于单位圆反演得到的曲线必然也关于 $y$ 轴对称，命题正确；
选项 D 任取与单位圆相离的直线（事实上，根据反演变换的性质，任何不通过原点的直线的“伴随曲线”必然是除去原点的圆），则其“伴随曲线”必然在单位圆内部，不可能是一条直线，命题错误．
题目
答案
解析
备注
