《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马 $P-ABCD$ 中，$侧棱PD\perp 底面ABCD$，且 $PD
=CD$，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，连接 $DE$，$BD$，$BE$．
=CD$，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，连接 $DE$，$BD$，$BE$．
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（文）
【标注】
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证明：$DE\perp 平面PBC$．试判断四面体 $EBCD$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由．标注答案略解析本题需要先理解鳖臑的概念，然后证明垂直即可．因为 $PD\perp 底面ABCD$，
所以 $PD\perp BC$．
由底面 $ABCD$ 为长方形，有 $BC\perp CD$，
而 $PD\cap CD=D$，
所以 $BC\perp 平面PCD$．
因为 $DE\subset 平面PCD$，
所以 $BC\perp DE$．
又因为 $PD=CD$，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，
所以 $DE\perp PC$．
而 $PC\cap BC=C$，
所以 $DE\perp 平面PBC$．
由 $BC\perp 平面PCD$，$DE\perp 平面PBC$，可知四面体 $EBCD$ 的四个面都是直角三角形，即四面体 $EBCD$ 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 $\angle BCD$，$\angle BCE$，$\angle DEC$，$\angle DEB$． -
记阳马 $P-ABCD$ 的体积为 $V_1$，四面体 $EBCD$ 的体积为 $V_2$，求 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的值．标注答案$4 $解析本题分别把两个几何体的体积表示出来，然后求比值即可．由已知，$PD$ 是阳马 $P-ABCD$ 的高，所以 $P-ABCD$ 的体积\[V_1=\dfrac 13S_{长方形ABCD}\cdot PD=\dfrac 13BC\cdot CD\cdot PD .\]由 $(1)$ 知，$DE$ 是鳖臑 $D-BCE$ 的高，$BC\perp CE$，所以 $EBCD$ 的体积\[V_2=\dfrac 13S_{\triangle BCE}\cdot DE=\dfrac 16BC\cdot CE\cdot DE .\]在 $\mathrm {Rt}\triangle PDC$ 中，因为 $PD=CD$，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，所以 $DE=CE=\dfrac{\sqrt 2}2 CD$，于是\[\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\dfrac 13BC\cdot CD\cdot PD}{\dfrac 16BC\cdot CE\cdot DE}=\dfrac{2CD\cdot PD}{CE\cdot DE}=4 .\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
