设函数 $f\left(x\right)$，$g\left(x\right)$ 的定义域均为 ${\mathbb{R}}$，且 $f\left(x\right)$ 是奇函数，$g\left(x\right)$ 是偶函数，$f\left(x\right)+g\left(x\right)={\mathrm{e}}^x$，其中 ${\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $f\left(x\right)$，$g\left(x\right)$ 的解析式，并证明：当 $x>0$ 时，$f\left(x\right)>0$，$g\left(x\right)>1$；标注答案$f\left(x\right)=\dfrac 12\left({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\right)$，$g\left(x\right)=\dfrac 12 \left({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)$．证明略解析利用奇偶性可求得解析式；利用指数函数的性质和均值不等式可证明 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的范围．由 $f\left(x\right)$，$g\left(x\right)$ 的奇偶性及 $f\left(x\right)+g\left(x\right)={\mathrm{e}}^x , \quad \cdots \cdots ① $ 得\[-f\left(x\right)+g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}. \quad \cdots \cdots ② \]联立 $ ①② $ 解得 $f\left(x\right)=\dfrac 12\left({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\right)$，$g\left(x\right)=\dfrac 12 \left({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)$．
当 $x>0$ 时，${\mathrm{e}}^x>1$，$0<{\mathrm{e}}^{-x}<1$，故\[f\left(x\right)>0. \quad \cdots \cdots ③ \]又由基本不等式，有 $g\left(x\right)=\dfrac 12 \left({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)>\sqrt{{\mathrm{e}}^x\cdot {\mathrm{e}}^{-x}}=1$，即\[g\left(x\right)>1. \quad \cdots \cdots ④ \] -
设 $a\leqslant 0$，$b\geqslant 1$，证明：当 $x>0$ 时，$ag\left(x\right)+\left(1-a\right)<\dfrac{f\left(x\right)}x<bg\left(x\right)+\left(1-b\right)$．标注答案略解析本题需要构造新的函数，然后转化为恒成立问题．由（1）得\[\begin{split}f'\left(x\right)&=\dfrac 12\left({\mathrm{e}}^x-\dfrac{1}{{\mathrm{e}}^x}\right)'\\&=\dfrac 12\left({\mathrm{e}}^x+\dfrac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}\right)
\\&=\dfrac 12\left({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)\\&=g\left(x\right),& \quad \cdots \cdots ⑤ \\ g'\left(x\right)&=\dfrac 12\left({\mathrm{e}}^x+\dfrac{1}{{\mathrm{e}}^x}\right)'\\&=\dfrac 12\left({\mathrm{e}}^x-\dfrac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}\right)\\&=\dfrac 12\left({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\\&=f\left(x\right), &\quad \cdots \cdots ⑥ \end{split}\]当 $x>0$ 时，\[\dfrac{f\left(x\right)}x>ag\left(x\right)+\left(1-a\right)\]等价于\[f\left(x\right)>axg\left(x\right)+\left(1-a\right)x, \quad \cdots \cdots ⑦ \]\[\dfrac{f\left(x\right)}x<bg\left(x\right)+\left(1-b\right)\]等价于\[f\left(x\right)<bxg\left(x\right)+\left(1-b\right)x. \quad \cdots \cdots ⑧ \]设函数\[h\left(x\right)=f\left(x\right)-cxg\left(x\right)-\left(1-c\right)x,\]由 $ ⑤⑥ $，有\[\begin{split}h'\left(x\right)&=g\left(x\right)-cg\left(x\right)-cxf\left(x\right)-\left(1-c\right)\\&=\left(1-c\right)\left[g\left(x\right)-1\right]-cxf\left(x\right) .\end{split}\]当 $x>0$ 时，
i）若 $c\leqslant 0$，由 $ ③④ $，得 $h'\left(x\right)>0$，故 $h\left(x\right)$ 在 $\left[0,+\infty\right)$ 上为增函数，从而 $h\left(x\right)>h\left(0\right)=0$，即 $f\left(x\right)>cxg\left(x\right)+\left(1-c\right)x$，故 $ ⑦ $ 成立．
ii）若 $c\geqslant 1$，由 $ ③④ $，得 $h'\left(x\right)<0$，故 $h\left(x\right)$ 在 $\left[0,+\infty\right)$ 上为减函数，从而 $h\left(x\right)<h\left(0\right)=0$，即 $f\left(x\right)<cxg\left(x\right)+\left(1-c\right)x$，故 $ ⑧ $ 成立．
综上，知 $ag\left(x\right)+\left(1-a\right)<\dfrac{f\left(x\right)}x<bg\left(x\right)+\left(1-b\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
