$f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty,0\right)$，单调递减区间为 $\left(0,+\infty\right)$；$\left(1+\dfrac 1n\right)^n<{\mathrm{e}}$．

先用导数确定 $f(x)$ 的单调性，然后把 $x$ 赋值即可得到结果．$f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left(-\infty,+\infty\right)$，$f'\left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^x$．
当 $f'\left(x\right)>0$，即 $x<0$ 时，$f\left(x\right)$ 单调递增；
当 $f'\left(x\right)<0$，即 $x>0$ 时，$f\left(x\right)$ 单调递减．
故 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty,0\right)$，单调递减区间为 $\left(0,+\infty\right)$．
当 $x>0$ 时，$f\left(x\right)<f\left(0\right)=0$，即 $1+x<{\mathrm{e}}^x$．
令 $x=\dfrac 1n$，得 $1+\dfrac 1n<{\mathrm{e}}^{\frac 1n}$，即 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n<{\mathrm{e}}. \quad \cdots \cdots ① $

$\dfrac{b_1}{a_1}=1\cdot \left(1+\dfrac 11\right)^1=1+1=2$；
$\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}=\dfrac{b_1}{a_1}\cdot\dfrac{b_2}{a_2}=2\cdot 2\left(1+\dfrac 12\right)^2=\left(2+1\right)^2=3^2$；
$\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}=\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}\cdot\dfrac{b_3}{a_3}=3^2\cdot 3\left(1+\dfrac 13\right)^3=\left(3+1\right)^3=4^3$．
由此推测：$\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}=\left(n+1\right)^n$，证明略．

本题可以利用数学归纳法证明．$\dfrac{b_1}{a_1}=1\cdot \left(1+\dfrac 11\right)^1=1+1=2$；
$\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}=\dfrac{b_1}{a_1}\cdot\dfrac{b_2}{a_2}=2\cdot 2\left(1+\dfrac 12\right)^2=\left(2+1\right)^2=3^2$；
$\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}=\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}\cdot\dfrac{b_3}{a_3}=3^2\cdot 3\left(1+\dfrac 13\right)^3=\left(3+1\right)^3=4^3$．
由此推测：$\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}=\left(n+1\right)^n. \quad \cdots \cdots ② $
下面用数学归纳法证明 $ ② $．
（i）当 $n=1$ 时，左边=右边= $2$，$ ② $ 成立．
（ii）假设当 $n=k\left( k\geqslant 1 , k\in{\mathbb{N}}_+\right)$ 时，$ ② $ 成立，即\[\dfrac{b_1b_2\cdots b_k}{a_1a_2\cdots a_k}=\left(k+1\right)^k.\]当 $n=k+1$ 时，\[b_{k+1}=\left(k+1\right)\left(1+\dfrac{1}{k+1}\right)^{k+1}a_{k+1},\]由归纳假设可得\[\begin{split}\dfrac{b_1b_2\cdots b_kb_{k+1}}{a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}}&=\dfrac{b_1b_2\cdots b_k}{a_1a_2\cdots a_k}\cdot \dfrac{b_{k+1}}{a_{k+1}}\\&=\left(k+1\right)^k\cdot \left(k+1\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{k+1}\right)^{k+1}\\&=\left(k+2\right)^{k+1},\end{split}\]所以当 $n=k+1$ 时，$ ② $ 也成立．
根据（i）（ii），可知 $ ② $ 对一切正整数 $n$ 都成立．

略

本题需要用均值不等式把乘法转化为加法，然后利用裂项求和即可．由 $ ① $，$ ② $ 可得\[\begin{split}
T_n&=c_1+c_2+c_3+\cdots+c_n
\\&=\left(a_1\right)^{\frac 11}+\left(a_1a_2\right)^{\frac 12}+\left(a_1a_2a_3\right)^{\frac 13}+\cdots\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac 1n}
\\&=\dfrac{\left(b_1\right)^{\frac 11}}2+\dfrac{\left(b_1b_2\right)^{\frac 12}}3+\dfrac{\left(b_1b_2b_3\right)^{\frac 13}}4+\cdots+\dfrac{\left(b_1b_2\cdots b_n\right)^{\frac 1n}}{n+1}
\\&\overset{\left[a\right]}\leqslant \dfrac{b_1}{1\times 2}+\dfrac{b_1+b_2}{2\times 3}+\dfrac{b_1+b_2+b_3}{3\times 4}+\cdots+\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n\left(n+1\right)}
\\&=b_1\left[\dfrac 1{1\times 2}+\dfrac 1{2\times 3}+\cdots+\dfrac 1{n\left(n+1\right)}\right]+b_2\left[\dfrac 1{2\times 3}+\dfrac 1{3\times 4}+\cdots+\dfrac 1{n\left(n+1\right)}\right]+\cdots+b_n\cdot\dfrac 1{n\left(n+1\right)}
\\& \overset{\left[b\right]}=b_1\left(1-\dfrac 1{n+1}\right)+ b_2\left(\dfrac 12-\dfrac 1{n+1}\right)+\cdots+b_n\left(\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}\right)
\\& <\dfrac{b_1}1+\dfrac{b_2}2+\cdots+\dfrac{b_n}n
\\& =\left(1+\dfrac 11\right)^1a_1+\left(1+\dfrac 12\right)^2a_2+\cdots+\left(1+\dfrac 1n\right)^na_n
\\& <{\mathrm{e}}a_1+{\mathrm{e}}a_2+\cdots+{\mathrm{e}}a_n={\mathrm{e}}S_n,
\end{split}\]（推导中用到：[a][b]）即 $T_n<{\mathrm{e}}S_n$．