设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$ B $，$ C $ 的对边分别为 $ a $，$ b $，$ c $，$ a=b\tan A $．
【难度】
【出处】
2015年高考湖南卷（文）
【标注】
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证明：$ \sin B=\cos A $；标注答案略．解析解三角形题中，利用正弦定理进行边角互换，将条件中的边角统一是解题的关键．由正弦定理，得\[\sin A=\sin B\cdot \tan A,\]整理得，\[\sin A\cdot \cos A=\sin A\cdot \sin B,\]在 $\triangle ABC$ 中，$\sin A\ne 0$，所以 $\sin B=\cos A$．
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若 $ \sin C-\sin A\cos B=\dfrac 34 $，且 $ B $ 为钝角，求 $ A $，$ B $，$ C $．标注答案$ A=30^\circ $，$ B=120^\circ $，$ C=30^\circ $．解析在解三角形题中，若等式条件中，三个角全有，可以考虑利用内角和为 $180^\circ$ 和诱导公式，将其中一个角换成另外两个角表示．因为\[\begin{split} &\sin C-\sin A\cos B\\=&\sin \left[180^\circ-\left(A+B\right)\right]-\sin A\cos B\\ \overset{\left[a\right]}=&\sin \left(A+B\right)-\sin A\cos B\\ \overset{\left[b\right]}=&\sin A\cos B+\cos A\sin B-\sin A\cos B\\=&\cos A\sin B ,\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]）
所以 $ \cos A\sin B=\dfrac 34 $．
由（1）知 $ \sin B=\cos A $，因此 $ \sin ^2B=\dfrac 34 $．
又 $ B $ 为钝角，所以 $ \sin B=\dfrac{\sqrt 3}{2} $，故 $ B=120^\circ $．
由 $ \cos A=\sin B=\dfrac{\sqrt 3}{2} $，知 $ A=30^\circ $．
从而 $ C=180^\circ-\left(A+B\right)=30^\circ $．
综上所述，$ A=30^\circ $，$ B=120^\circ $，$ C=30^\circ $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
