略．

对于已知“项和关系式”的问题，通过加减消元或代入消元将“项和关系式”转化为“递推关系式”是解决数列问题的关键．由已知条件，对任意 $ n\in\mathbb N^* $，有\[ a_{n+2}=3S_n-S_{n+1}+3 ,\]因而对任意 $ n\in\mathbb N^* $，$ n\geqslant 2 $，有\[ a_{n+1}=3S_{n-1}-S_n+3 ,\]两式相减，得\[ a_{n+2}-a_{n+1}\overset{\left[a\right]}=3a_n-a_{n+1}, \]（推导中用到[a]）
整理得\[ a_{n+2}=3a_n , n\geqslant 2 ,\]又 $ a_1=1 $，$ a_2=2 $，所以\[ a_3=3S_1-S_2+3=3a_1 ,\]故对一切 $ n\in\mathbb N^* $，$ a_{n+2}=3a_n $．

$ S_n=\begin{cases}
\dfrac 32\left(5\times 3^{\frac{n-1}{2}}-1\right),n是奇数,\\
\dfrac 32\left(5\times 3^{\frac{n}{2}}-1\right),n是偶数.
\end{cases} $

根据通项公式可知，分奇偶项求和即可．由（1）知，$ a_n\ne 0 $，所以 $ \dfrac{a_{n+2}}{a_n}=3 $，于是数列 $ \left\{a_{2n-1}\right\} $ 是首项 $ a_1=1 $，公比为 $ 3 $ 的等比数列；数列 $ \left\{a_{2n}\right\} $ 是首项 $ a_2=2 $，公比为 $ 3 $ 的等比数列．
因此 $ a_{2n-1}=3^{n-1} $，$ a_{2n}=2\times 3^{n-1} $，于是\[\begin{split} S_{2n}&=a_1+a_2+\cdots+a_{2n}\\&=\left(a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}\right)+\left(a_2+a_4+\cdots+a_{2n}\right)\\&=\left(1+3+\cdots+3^{n-1}\right)+2\left(1+3+\cdots+3^{n-1}\right)\\&=3\left(1+3+\cdots+3^{n-1}\right)\\&\overset{\left[a\right]}=\dfrac{3\left(3^n-1\right)}{2} ,\end{split}\]（推导中用到[a]）
所以，当 $n$ 为偶数时，\[S_n=\dfrac{3}{2}\left(3^{\frac{n}{2}}-1\right);\]又因为\[ S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n}=\dfrac 32\left(5\cdot 3^{n-2}-1\right) .\]所以，当 $n$ 为奇数时，\[S_n=\dfrac{3}{2}\left(5\cdot3^{\frac{n+1}{2}-2}-1\right)=\dfrac32\left(5\cdot3^{\frac{n-3}{2}}-1\right).\]综上所述，$ S_n=\begin{cases}
\dfrac 32\left(5\cdot 3^{\frac{n-3}{2}}-1\right),&n是奇数,\\
\dfrac 32\left( 3^{\frac{n}{2}}-1\right),&n是偶数.
\end{cases} $