已知椭圆 $E$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的半焦距为 $c$，原点 $O$ 到经过两点 $\left(c,0\right)$，$\left(0,b\right)$ 的直线的距离为 $\dfrac 12c$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $E$ 的离心率；标注答案$\dfrac {\sqrt 3}{2}$解析先求出经过点 $(c,0)$ 和 $(0,b)$ 的直线方程，然后利用点到直线的距离公式建立 $a,b,c$ 三者之间的关系，继而求出离心率．可求得过点 $\left(c,0\right)$，$\left(0,b\right)$ 的直线方程为\[bx+cy-bc=0,\]则原点 $O$ 到该直线的距离为 $\dfrac {bc}{\sqrt {b^2+c^2}}$．由题意，\[\dfrac {bc}{\sqrt {b^2+c^2}}=\dfrac 12c ,\]结合 $a^2=b^2+c^2$可得离心率为 $\dfrac ca=\dfrac {\sqrt 3}{2}$．
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如图，$AB$ 是圆 $M$：$\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\dfrac 52$ 的一条直径，若椭圆 $E$ 经过 $A$，$B$ 两点，求椭圆 $E$ 的方程．标注答案$\dfrac {x^2}{12}+\dfrac {y^2}{3}=1$解析根据题意可得，$(-2,1)$ 为弦 $AB$ 的中点，且 $\left|AB\right|=\sqrt {10}$．设出 $AB$ 方程，与椭圆联立后利用弦长公式表达 $\left|AB\right|$，令 $\left|AB\right|=\sqrt {10}$，则可求出椭圆方程．方法一：
由（1）知，椭圆 $E$ 的方程为 $x^2+4y^2=4b^2. \quad \cdots \cdots ① $依题意，圆心 $M\left(-2,1\right)$ 是线段 $AB$ 的中点，且 $ \left|AB \right|=\sqrt {10}$．
易知，$AB$ 与 $x$ 轴不垂直，设其方程为 $y=k\left(x+2\right)+1$，直线 $AB$ 和椭圆 $E$ 的方程联立并消去 $y$ 得\[\left(1+4k^2\right)x^2+8k\left(2k+1\right)x+4\left(2k+1\right)^2-4b^2=0.\]设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，则\[x_1+x_2=-\dfrac {8k\left(2k+1\right)}{1+4k^2} , x_1x_2= \dfrac {4\left(2k+1\right)^2-4b^2}{1+4k^2}.\]由因为 $M\left(-2,1\right)$ 是 $AB$ 中点，所以 $x_1+x_2=-4$，则\[-\dfrac {8k\left(2k+1\right)}{1+4k^2}=-4,\]解得 $k=\dfrac 12$．从而 $x_1x_2=8-2b^2$．于是根据弦长公式可得\[ \begin{split}\left|AB \right|&=\sqrt {1+\left(\dfrac 12\right)^2}\sqrt {\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\\&=\sqrt {10\left(b^2-2\right)}.\end{split}\]由 $ \left|AB \right|=\sqrt {10}$ 得\[\sqrt {10\left(b^2-2\right)}=\sqrt {10},\]解得 $b^2=3$．故椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac {x^2}{12}+\dfrac {y^2}{3}=1$．
方法二：
由（1）知，椭圆 $E$ 的方程为 $x^2+4y^2=4b^2. \quad \cdots \cdots ② $依题意，点 $A$，$B$ 关于圆心 $M\left(-2,1\right)$ 对称，且 $ \left|AB \right|=\sqrt {10}$．设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，则\[x_1^2+4y_1^2=4b^2,x_2^2+4y_2^2=4b^2,\]两式相减并结合 $x_1+x_2=-4$，$y_1+y_2=2$得\[-4\left(x_1-x_2\right)+8\left(y_1-y_2\right)=0.\]易知 $AB$ 与 $x$ 轴不垂直，则 $x_1\neq x_2$，所以 $AB$ 的斜率$k_{AB}=\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac 12$．因此直线 $AB$ 的方程为\[y=\dfrac 12\left(x+2\right)+1.\]直线 $AB$ 的方程和椭圆 $E$ 的方程联立并消去 $y$ 得\[x^2+4x+8-2b^2=0.\]所以 $x_1+x_2=-4$，$x_1x_2=8-2b^2$．于是根据弦长公式可得\[ \begin{split}\left|AB \right|&=\sqrt {1+\left(\dfrac 12\right)^2}\sqrt {\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\\&=\sqrt {10\left(b^2-2\right)}.\end{split}\]由 $ \left|AB \right|=\sqrt {10}$，得\[\sqrt {10\left(b^2-2\right)}=\sqrt {10},\]解得 $b^2=3$．故椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac {x^2}{12}+\dfrac {y^2}{3}=1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
