如图，$AB$ 切 $\odot O$ 于点 $B$，直线 $AO$ 交 $\odot O$ 于 $D$，$E$ 两点，$BC\perp DE$，垂足为 $C$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
证明：$\angle CBD=\angle DBA$；标注答案略．解析可通过 $\angle E$ 的传递来证 $\angle CBD=\angle DBA$．因为 $DE$ 为 $\odot O$ 直径，
所以 $\angle BED+\angle EDB=90^\circ$，
又 $BC\perp DE$，
所以 $\angle CBD+\angle EDB=90^\circ$，
从而 $\angle CBD=\angle BED$．
又 $AB$ 切 $\odot O$ 于点 $B$，得 $\angle DBA= \angle BED$，
所以 $\angle CBD=\angle DBA$． -
若 $AD=3DC$，$BC=\sqrt 2$，求 $\odot O$ 的直径．标注答案$3$．解析对 $\angle ABC$ 应用角平分线定理，并结合已知可求出 $AD$ 和 $AB$，然后用圆幂定理求出直径．由（1）知 $BD$ 平分 $\angle CBA$，则 $\dfrac {BA}{BC}=\dfrac {AD}{CD}=3$．
又 $BC=\sqrt 2$，
从而 $AB=3\sqrt 2$．
所以 $AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=4$，
所以 $AD=3$．
由切割线定理，得 $AB^2=AD\cdot AE$，即 $AE=\dfrac {AB^2}{AD}=6$，
故 $DE=AE-AD=3$，即 $\odot O$ 的直径为 $3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
