略

要使不等式恒成立，只需函数 $ f\left(x\right) $ 的最大值满足不等式即可，利用导数求解函数最大值进行证明．对函数 $ f\left(x\right) $ 进行求导得\[\begin{split}f'\left( x \right) & = \cos x + x\left( { - \sin x} \right) - \cos x \\&= - x\sin x,\end{split}\]因为 $x \in \left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$，所以 $f'\left( x \right)\leqslant0$，即 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上单调递减，
所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上的最大值为 $f\left( 0 \right) = 0$，
因此 $f\left( x \right) \leqslant 0$．

$ a $ 的最大值为 $\dfrac{2}{\mathrm \pi} $，$ b $ 的最小值为 $ 1 $．

本题仍为函数不等式恒成立问题，仿照第 $1$ 小问，构造新函数利用导数判断其最值满足不等式．当 $ x>0 $ 时，“$\dfrac{\sin x}{x}>a $”等价于“$ \sin x-ax>0 $”；
“$\dfrac{\sin x}{x}<b $”等价于“$ \sin x-bx<0 $”．
令 $ g\left(x\right)=\sin x-cx $，求导得\[ g'\left(x\right)=\cos x-c. \]当 $ c\leqslant 0 $ 时，$ g\left(x\right)> 0 $ 在 $ x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $ 上恒成立；
当 $ c\geqslant 1 $ 时，因为对任意 $x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $，\[ g'\left(x\right)=\cos x-c<0 ,\]所以 $ g\left(x\right) $ 在区间 $ \left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right] $ 上单调递减，
从而\[g\left(x\right)<g\left(0\right)=0 \]对任意 $ x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $ 恒成立；
当 $ 0<c<1 $ 时，存在唯一的 $ x_0\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $ 使得\[ g'\left(x_0\right)=\cos x_0-c=0.\]$ g\left(x\right) $ 与 $ g'\left(x\right) $ 在区间 $\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $ 上的情况如下：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
x&\left(0,x_0\right)&x_0&\left(x_0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)\\ \hline
g'\left(x\right)&+&0&-\\ \hline
g\left(x\right)&\nearrow&极大值&\searrow\\ \hline
\end{array} \]因为 $ g\left(x\right) $ 在区间 $ \left(0,x_0\right) $ 上是增函数，所以 $ g\left(x_0\right)>g\left(0\right)=0 $，
故 $ g\left(x\right)>0 $ 对任意 $ x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$ 恒成立，当且仅当\[g\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)=1-\dfrac{\mathrm \pi} {2}c\geqslant 0 ,\]即 $ 0<c\leqslant \dfrac{2}{\mathrm \pi} $．
综上所述：
当且仅当 $ c\leqslant \dfrac{2}{\mathrm \pi} $ 时，$ g\left(x\right)>0 $ 对任意 $ x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $ 恒成立；
当且仅当 $ c\geqslant 1 $ 时，$ g\left(x\right)<0 $ 对任意 $ x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $ 恒成立．
所以若 $a < \dfrac{\sin x}{x} < b$ 对任意 $ x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $ 恒成立，则 $ a $ 的最大值为 $\dfrac{2}{\mathrm \pi} $，$ b $ 的最小值为 $ 1 $．