题目 数列 $ \left\{a_{n}\right\} $ 满足 $ a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+2 $． 问题1 设 $ b_{n}=a_{n+1}-a_{n} $，证明 $ \left\{b_{n}\right\} $ 是等差数列； 答案1 略． 解析1 本题考查等差数列的判定，根据等差数列的定义，只需证明后项与前项的差为定值即可．由\[ a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+2 ,\]得\[ a_{n+2}- a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+2 ,\]即\[ b_{n+1}=b_{n}+2 ,\]又\[ b_{1}=a_{2}-a_{1}=1. \]所以 $ \left\{b_{n}\right\} $ 是首项为 $ 1 $，公差为 $ 2 $ 的等差数列． 备注1 问题2 求数列 $ \left\{a_{n}\right\} $ 的通项公式． 答案2 $ a_{n}=n^2-2n +2 $． 解析2 本题考查累加法求数列通项．结合（1）可得到数列 $\left\{a_n\right\}$ 的递推公式，可使用累加法进行求数列通项．由（1）得\[ b_{n}=1+2\left(n-1\right), \]即\[ a_{n+1}-a_{n}=2n-1, \]于是\[\begin{split}a_{n+1}&\overset{\left[a\right]}=a_1+\left(a_2-a_1\right)+\cdots+\left(a_n-a_{n-1}\right)+\left(a_{n+1}-a_n\right)\\&=1+1+3+\cdots+2\left(n-1\right)-1+2n-1\\&=n^2+1\end{split},\]（推导中用到：[a]）<br/>所以 $ \left\{a_{n}\right\} $ 的通项公式为\[ a_{n}=n^2-2n +2 .\] 备注2