$0.31$．

本题考查事件的独立性及概率运算相关知识，要对满足要求的情况合理分类．记 $ A_{i} $ 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 $ i $ 人需使用设备，$ i=0,1,2 $，
$ B $ 表示事件：甲需使用设备，
$ C $ 表示事件：丁需使用设备，
$ D $ 表示事件：同一工作日至少 $ 3 $ 人需使用设备，
$ E $ 表示事件：同一工作日 $ 4 $ 人需使用设备，
$ F $ 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于 $ k $．因为\[ D =\left(A_{1} BC\right)\cup\left( A_{2} B\right)\cup\left( A_{2} \overline B C\right),\]又\[\begin{split}
&P\left(B\right) =0.6, P\left(C\right) =0.4, \\&P\left(A_{i}\right) \overset{\left[a\right]}= {\mathrm{C}}_2^i \times {0.5^2},i = 0,1,2, \end{split}\]（推导中用到：[a]）
所以\[ \begin{split}P\left(D\right)&=P\left[\left(A_{1}BC\right)\cup \left(A_{2} B\right)\cup\left(A_{2}\overline B C\right)\right]\\&\overset{\left[b\right]}= P\left(A_{1}BC\right)+P\left(A_{2} B\right)+P\left(A_{2} \overline B C\right)\\&\overset{\left[a\right]}= P\left(A_{1}\right)\cdot P\left(B\right)\cdot P\left(C\right)+P\left(A_{2}\right)\cdot P\left(B\right)+P\left(A_{2}\right)\cdot P\left( \overline B \right)\cdot P\left(C\right)\\&=0.31.\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）

$ k $ 的最小值为 $ 3 $．

本题主要考查相互独立事件的概率问题，结合 $1$ 中的结论进行计算．由（1）知，若 $ k=2 $，则\[ P\left(F\right)=0.31>0.1. \]又 $E =B\cdot C\cdot A_{2} $，所以\[P\left(E\right) =P\left(B\cdot C\cdot A_{2}\right) \overset{\left[a\right]}= P\left(B\right)\cdot P\left(C\right)\cdot P\left(A_{2}\right) =0.06 , \]（推导中用到：[a]）
若 $ k=3 $，则\[ P\left(F\right)=0.06<0.1 ,\]所以 $ k $ 的最小值为 $ 3 $．