题目 $\triangle ABC$ 中，角 $ A$，$ B $，$C $ 所对的边分别为 $a$，$ b $，$c$．已知 $a = 3$，$ \cos A = \dfrac{\sqrt 6 }{3} $，$B = A + \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$． 问题1 求 $b$ 的值； 答案1 $b = 3\sqrt 2 $． 解析1 要求 $b$ 边，题中给的条件是有关 $a$ 边，角 $A$，角 $B$ 的信息，故可用正弦定理求得．在 $ \triangle ABC$ 中，由题意知\[\begin{split}& \sin A \overset{\left[a\right]}= \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \dfrac{\sqrt 3 }{3}, \\& \sin B = \sin\left(A + \dfrac{ {\mathrm \pi} }{2}\right) \overset{\left[b\right]}= \cos A = \dfrac{\sqrt 6 }{3}.\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）<br/>由正弦定理得 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$，所以\[b = \dfrac{a \sin B }{\sin A} = 3\sqrt 2 .\] 备注1 问题2 求 $\triangle ABC$ 的面积． 答案2 ${S_{\triangle ABC}} = \dfrac{3\sqrt 2 }{2}$． 解析2 考查三角形面积公式，由已经知道的三角形元素，可以再求出一边，或一角的正弦值，即可解决问题．由余弦定理得\[\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2bc} = \dfrac{\sqrt 6 }{3} ,\]即\[ {c^2} - 4\sqrt 3 c + 9 = 0,\]解得\[ c= \sqrt 3 或 c=3\sqrt 3 .\]又因为 $B = A + \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$ 为钝角，所以 $b > c$，$c = \sqrt 3 $，所以\[{S_{\triangle ABC}} \overset{\left[c\right]}= \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{3\sqrt 2 }{2}.\]（推导中用到：[c]） 备注2