在等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中，已知公差 $d = 2$，${a_2}$ 是 ${a_1}$ 与 ${a_4}$ 的等比中项．
【难度】
【出处】
2014年高考山东卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式；标注答案${a_n} = 2n$．解析本小问主要考查等差数列通项公式．通过题中的条件，列出等式，又等差数列中的项都可以用首项与公差来表示，从而求得 $a_1$，进而得到通项公式．由题意知 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列，设 ${a_n} = {a_1} + \left(n - 1\right)d$，因为 $ {a_2}$ 为 ${a_1}$ 与 ${a_4}$ 的等比中项，所以\[a_2^2 \overset{\left[a\right]}= {a_1} \cdot {a_4},\]（推导中用到：[a]）
即\[ {\left( {{a_1} + d} \right)^2} = {a_1}\left( {{a_1} + 3d} \right),\]因为 $ d = 2$，解得 ${a_1} = 2$，所以\[ {a_n} = 2n.\] -
设 ${b_n} = {a_{\frac{n\left(n + 1\right)}{2}}}$，记 ${T_n} = - {b_1} + {b_2} - {b_3} + {b_4} - \ldots + {\left( - 1\right)^n}{b_n}$，求 ${T_n}$．标注答案${T_n} = {\begin{cases}
- \dfrac{{{n^2} + 2n + 1}}{2},&n为奇数 ,\\
\dfrac{{{n^2} + 2n}}{2},&n为偶数. \\
\end{cases}}$解析数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和可以通过分组求得，由于两项两项结合，所以分组时需要考虑奇数项与偶数项．由（1）知：\[ {a_n} = 2n,{b_n} = {a_{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}} = n\left( {n + 1} \right),\]① 当 $n$ 为偶数时：\[\begin{split} {T_n} &= - \left( {1 \times 2} \right) + \left( {2 \times 3} \right) - \left( {3 \times 4} \right) + \cdots + n\left( {n + 1} \right) \\&
= 2 \times \left( { - 1 + 3} \right) + 4\left( { - 3 + 5} \right) + \cdots + n\left[ { - \left( {n - 1} \right) + \left( {n + 1} \right)} \right] \\&
= 2 \times 2 + 4 \times 2 + 6 \times 2 + \cdots + n \times 2 \\&
= 2 \times \left( {2 + 4 + 6 + \cdots + n} \right) \\&
\overset{\left[b\right]}= 2 \times \dfrac{{\left( {2 + n} \right) \cdot \dfrac{n}{2}}}{2} \\& = \dfrac{{{n^2} + 2n}}{2} ,
\end{split} \]（推导中用到：[b]）
② 当 $n$ 为奇数时：\[\begin{split}
{T_n} &= - \left( {1 \times 2} \right) + \left( {2 \times 3} \right) - \left( {3 \times 4} \right) + \cdots - n\left( {n + 1} \right) \\&
= 2 \times \left( { - 1 + 3} \right) + 4\left( { - 3 + 5} \right) + \cdots + \left( n - 1\right)\left[ { - \left( {n - 2} \right) + n} \right] - n\left( {n + 1} \right) \\&
= 2 \times 2 + 4 \times 2 + 6 \times 2 + \cdots + \left( n - 1\right) \times 2 - n\left( {n + 1} \right) \\&
= 2 \times \left[ {2 + 4 + 6 + \cdots + \left(n - 1\right)} \right]- n\left( {n + 1} \right) \\&
\overset{\left[b\right]}= 2 \times \dfrac{{\left( {2 + n - 1} \right) \cdot \dfrac{n - 1}{2}}}{2} - n\left( {n + 1} \right) \\& = - \dfrac{{{n^2} + 2n + 1}}{2} .
\end{split} \]（推导中用到：[b]）
综上\[{T_n} = {\begin{cases}
- \dfrac{{{n^2} + 2n + 1}}{2},&n为奇数 ,\\
\dfrac{{{n^2} + 2n}}{2},&n为偶数. \\
\end{cases}}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
