曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程为\[x-2y-1=0.\]

本小问主要考查利用导数求曲线的切线方程，属于基础题．当 $a = 0$ 时，$f\left( x \right) = \dfrac{x - 1}{x + 1}$，$f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$，所以\[f'\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} , f\left( 1 \right) = 0,\]因此，曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程为\[x-2y-1=0.\]

$a \geqslant 0$ 时，$f\left( x \right)$ 在定义域上单调递增；
$a \leqslant - \dfrac{1}{2}$ 时，$f\left( x \right)$ 在定义域上单调递减；
$ - \dfrac{1}{2} < a < 0$ 时，$f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,\dfrac{{ - a - 1 + \sqrt {2a + 1} }}{a}} \right)$ 单调递减，$\left( {\dfrac{{ - a - 1+ \sqrt {2a + 1} }}{a},\dfrac{{ - a - 1 - \sqrt {2a + 1} }}{a}} \right)$ 单调递增，$\left( {\dfrac{{ - a - 1 - \sqrt {2a + 1} }}{a}, + \infty } \right)$ 单调递减．

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，导函数的正负决定函数的单调性，只需研究核心函数的正负即可，核心函数是二次型，需要对其开口方向，有根没根，有根的话需要对根的位置进行讨论．\[f'\left( x \right) = \dfrac{a}{x} + \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}=\dfrac{ax^2+\left(2a+2\right)x+a}{x\left(x+1\right)^2}\left( {x > 0} \right).\]① 当 $a = 0$ 时，$f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ 恒大于 $0$，$f\left( x \right)$ 在定义域上单调递增．
② 当 $a > 0$ 时，\[f'\left( x \right) = \dfrac{a}{x} + \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0.\]$f\left( x \right)$ 在定义域上单调递增．
③ 当 $a < 0$ 时，令 $ g\left(x\right)=ax^2+\left(2a+2\right)x+a $，则\[\Delta = {\left( {2a + 2} \right)^2} - 4{a^2}= 8a + 4 .\]当 $a \leqslant - \dfrac{1}{2}$ 时，即 $\Delta \leqslant 0$ 时，$f\left( x \right)$ 在定义域上单调递减．
当 $ - \dfrac{1}{2} < a < 0$ 时，$\Delta > 0$，函数 $ g\left(x\right) $ 的两个零点为\[{x_{1}} = \dfrac{{ - a - 1 + \sqrt {2a + 1} }}{a},x_2= \dfrac{{ - a - 1 - \sqrt {2a + 1} }}{a}.\]$g\left(x\right)$ 的对称轴方程为\[x = - \dfrac{2a + 2}{2a} = - 1 - \dfrac{1}{a} > 0\]且 ${x_1}{x_2} = 1 > 0$，
所以 $ f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,\dfrac{{ - a - 1 + \sqrt {2a + 1} }}{a}} \right)$ 上单调递减，在 $\left( {\dfrac{{ - a - 1 + \sqrt {2a + 1} }}{a},\dfrac{{ - a - 1 - \sqrt {2a + 1} }}{a}} \right)$ 上单调递增，在 $\left( {\dfrac{{ - a - 1 - \sqrt {2a + 1} }}{a}, + \infty } \right)$ 上单调递减．
综上所述，
$a \geqslant 0$ 时，$f\left( x \right)$ 在定义域上单调递增；
$a \leqslant - \dfrac{1}{2}$ 时，$f\left( x \right)$ 在定义域上单调递减；
$ - \dfrac{1}{2} < a < 0$ 时，$f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,\dfrac{{ - a - 1 + \sqrt {2a + 1} }}{a}} \right)$ 单调递减，$\left( {\dfrac{{ - a - 1+ \sqrt {2a + 1} }}{a},\dfrac{{ - a - 1 - \sqrt {2a + 1} }}{a}} \right)$ 单调递增，$\left( {\dfrac{{ - a - 1 - \sqrt {2a + 1} }}{a}, + \infty } \right)$ 单调递减．