在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\dfrac{{4\sqrt {10} }}{5}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$ \dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$．解析本小题主要是椭圆的基本量问题．\[e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt 3 }{2},\]设 $c = \sqrt 3 n$，$a = 2n$，则 $b = n$，椭圆方程为\[\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = {n^2}.\]设 $y = x$ 与椭圆在第一象限的交点为 $A\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，则 ${x_0} = {y_0}$，\[\sqrt 2 {x_0} = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5},\]所以\[\begin{cases}
{x_0} = \dfrac{2\sqrt 5 }{5} ,\\
{y_0} = \dfrac{2\sqrt 5 }{5}, \\
\end{cases}\]将 $A\left(\dfrac{2\sqrt 5 }{5},\dfrac{2\sqrt 5 }{5}\right)$ 代入椭圆方程得 $n = 1$，所以\[ \dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1.\] -
过原点的直线与椭圆 $ C $ 交于 $ A,B $ 两点（$ A$，$B $ 不是椭圆 $ C $ 的顶点）．点 $ D $ 在椭圆 $ C $ 上，且 $AD \perp AB$，直线 $ BD $ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $ M$，$N $ 两点．
（i）设直线 $ BD$，$AM $ 的斜率分别为 ${k_1}$，${k_2}$，证明：存在常数 $\lambda $ 使得 ${k_1} = \lambda {k_2}$，并求出 $\lambda $ 的值；
（ii）求 $\triangle OMN$ 面积的最大值．标注答案$ \lambda = - \dfrac{1}{2}$；$\triangle OMN$ 面积的最大值为 $\dfrac 9 8 $．解析第一小题定值问题，由点差法将 $k_1$，$k_2$ 表示出即可解决．第二小题是三角形面积的最值问题，需要先将面积表示出，再利用均值不等式或函数求最值的方法求得最值．（i）设 $B\left( {{x_1},{y_1}} \right),D\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，则 $A\left( { - {x_1}, - {y_1}} \right)$，故 ${k_{AD}} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}$．因为\[\quad \begin{cases}
\dfrac{{{x_1}^2}}{4} + y_1^2 = 1 ,\cdots ① \\
\dfrac{{{x_2}^2}}{4} + y_2^2 = 1 ,\cdots ② \\
\end{cases} \]由 $ ① - ② $ 得\[\dfrac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{4} + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0,\]即\[\dfrac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} \cdot \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = - \dfrac{1}{4},\]所以 $ {k_1} \cdot {k_{AD}} = - \dfrac{1}{4}$．
又 $AB \perp AD$，因此 $ {k_{AB}} \cdot {k_{AD}} = - 1$，$ {k_{AB}} = 4{k_1}$，所以\[{L_{BD}}:y - {y_1} = {k_1}\left( {x - x{}_1} \right),\]令 $y = 0$，$x = - \dfrac{y_1}{k_1} + x{}_1$，
令 $x = 0$，$y = {y_1} - {k_1}x{}_1$，
可知 $ M\left( { - \dfrac{y_1}{k_1} + x{}_1,0} \right),N\left( {0,{y_1} - {k_1}x{}_1} \right)$，所以\[\begin{split}{k_2} = \dfrac{y_1}{{2x{}_1 - \dfrac{y_1}{k_1}}} = \dfrac{{\dfrac{y_1}{{x{}_1}}}}{{2 - \dfrac{y_1}{{x{}_1}} \cdot \dfrac{1}{k_1}}} = - 2{k_1},\end{split}\]所以 $ {k_1} = - \dfrac{1}{2}{k_2}$，$ \lambda = - \dfrac{1}{2}$．
（ii）$\triangle OMN$ 的面积为\[{S_{\triangle OMN}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left( { - \dfrac{y_1}{k_1} + x_1} \right)\left( {{y_1} - {k_1}x{}_1} \right)} \right|.\]因为 $ {k_1} = \dfrac{y_1}{4x_1}$，所以\[ \begin{split}{S_{\triangle OMN}} & = \dfrac{9}{8}\left| {x{}_1{y_1}} \right| \\& = \dfrac{9}{8}\sqrt {x_1^2y_1^2} \\& = \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt {x_1^2\left( {4 - x_1^2} \right)} \\& \leqslant \dfrac{9}{8},\end{split}\]当且仅当 ${x_1} = \pm \sqrt 2 $ 时，等号成立，所以 $\triangle OMN$ 面积的最大值为 $\dfrac 9 8 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
