设函数 $f\left(x\right) = \dfrac{{{{\mathrm{e}}^x}}}{x^2} - k\left(\dfrac{2}{x} + \ln x\right)$（$k$ 为常数，${\mathrm{e}} = 2.71828 \cdots $ 是自然对数的底数）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $k \leqslant 0$ 时，求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间；标注答案$f\left(x\right) $ 的单调递减区间为 $ \left(0,2\right)$，单调递增区间为 $ \left(2,+\infty \right)$．解析此小问是利用导数求含参函数的单调性的问题．它的核心思想是导数的正负决定函数的单调性，故判断导函数的核心函数的正负至关重要．函数 $f\left(x\right) $ 的定义域为 $\left(0,+\infty \right) $．\[\begin{split}f'\left( x \right) &= \dfrac{{{{\mathrm{e}}^x} \cdot {x^2} - 2x{ {\mathrm{e}}^x}}}{x^4} - k\left( - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right) \\& = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{{\mathrm{e}}^x} - kx} \right)}}{x^3},\end{split}\]当 $k \leqslant 0$ 时，$kx \leqslant 0$，所以\[{{\mathrm{e}}^x} - kx > 0.\]令 $f'\left( x \right) = 0$，则 $x = 2$，所以，当 $x \in \left( {0,2} \right)$ 时，$f\left( x \right)$ 单调递减；当 $x \in \left( {2, + \infty } \right)$ 时，$f\left( x \right)$ 单调递增．
所以，$f\left(x\right) $ 的单调递减区间为 $ \left(0,2\right)$，单调递增区间为 $ \left(2,+\infty \right)$． -
若函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围．标注答案函数 $ f\left(x\right)$ 在 $ \left(0,2\right)$ 内存在两个极值点时，$ k $ 的取值范围为 $ \left({\mathrm{e}},\dfrac{{\mathrm{e}}^2}{2}\right) $．解析“存在两个极值点”等价于导函数存在两个变号零点，故将问题转化为研究导函数的零点问题．函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 内存在两个极值点，即函数 $g\left(x\right)={\mathrm e}^x-kx$ 在 $\left(0,2\right)$ 区间内有两个零点，且零点的两侧的导函数值符号相反．
由（1）知，$ k\leqslant 0 $ 时，函数 $ g\left(x\right)\geqslant 0\left(0<x<2\right) $，因此 $ g\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 内不存在零点，即 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 内不存在极值点．
当 $ k>0 $ 时，令\[g'\left(x\right)=0,\]解得\[x=\ln k.\]① 当 $ \ln k\leqslant 0 $ 时，即 $0<k\leqslant 1$ 时，\[g′\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-k>0 ,0<x<2\]故 $ y=g\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 上单调递增，所以 $y=g\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 内不存在两个零点，因此 $ f\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 内不存在两个极值点；
② 当 $\ln k>0 $ 时，即 $k>{\mathrm e}$，此时 $ y=g\left(x\right)$ 在 $ \left(0,\ln k\right)$ 单调递减，在 $ \left(\ln k,+\infty \right) $ 单调递增，所以，函数 $ y=g\left(x\right)$ 的最小值为\[g\left(\ln k\right)=k\left(1-\ln k\right).\]要使 $ g\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 内存在两个零点，且零点两侧的符号相反，当且仅当\[ \begin{cases}g\left(0\right)>0,\\g\left(\ln k\right)<0,\\g\left(2\right)>0,\\0<\ln k<2.\end{cases}\]解得 ${\mathrm{ e}}<k<\dfrac{{\mathrm{e}}^2}{2} $．
综上所述，函数 $ f\left(x\right)$ 在 $ \left(0,2\right)$ 内存在两个极值点时，$ k $ 的取值范围为 $ \left({\mathrm{e}},\dfrac{{\mathrm{e}}^2}{2}\right) $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
