已知函数 $f\left(x\right) = A\sin \left( {x + \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right)$，$x \in {\mathbb{R}}$，且 $f\left(\dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{12}\right) = \dfrac{3\sqrt 2 }{2}$．
【难度】
【出处】
2014年高考广东卷（文）
【标注】
-
求 $A$ 的值；标注答案$ A = 3$．解析本小问属于基础题，考查任意角的三角函数的概念．由题意得\[f\left(\dfrac{{5{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{12}\right) = A\sin \left(\dfrac{{5{\mathrm{\mathrm \pi} } }}{12} + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}\right) = \dfrac{3\sqrt 2 }{2},\]于是，\[A\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4}=\dfrac{3\sqrt 2}{2},\]所以 $ A = 3$．
-
若 $f\left(\theta \right) - f\left( - \theta \right) = \sqrt 3 $，$ \theta \in \left( {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right)$，求 $f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6} - \theta \right)$．标注答案$f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6} - \theta \right)=\sqrt 6 $．解析本小问属于化简求值题，所求的值一定是通过所给的条件能求出，所以需要先化简条件，得到解题的关键值，然后解题．由（1）得 $f\left(x\right) = 3 \sin \left( x + \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} }}{3}\right)$，所以\[\begin{split}f\left(\theta \right) - f\left( - \theta \right) & = 3\sin \left(\theta + \dfrac{\mathrm \pi} {3}\right) - 3\sin \left( - \theta + \dfrac{\mathrm \pi} {3}\right) \\&\overset{\left[a\right]}=3\left[\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos\theta \right)-\left(-\dfrac{1}{2}\sin \theta+\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos\theta\right)\right]\\&= 3\sin \theta\\& = \sqrt 3 ,\end{split}\]（推导中用到：[a]）
解得 $ \sin \theta = \dfrac{\sqrt 3 }{3}$，因为 $\theta \in \left(0,\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{2}\right)$，所以 $ \cos \theta = \dfrac{\sqrt 6 }{3}$，所以\[\begin{split}f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6} - \theta \right) & = 3\sin \left(\dfrac{\mathrm \pi} {6} - \theta + \dfrac{\mathrm \pi} {3}\right) \\& \overset{\left[b\right]}= 3\cos \theta \\&= \sqrt 6.\end{split}\]（推导中用到：[b]）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
