如图1，四边形 $ABCD$ 为矩形，$PD \perp 面 ABCD$，$AB = 1$，$BC = PC = 2$，作如图2折叠，折痕 $EF \parallel DC$．其中点 $ E $，$ F $ 分别在线段 $ PD $，$ PC $ 上，沿 $EF$ 折叠后点 $P$ 叠在线段 $AD$ 上的点记为 $M$，并且 $MF \perp CF$．
【难度】
【出处】
2014年高考广东卷（文）
【标注】
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证明：$CF \perp 平面 MDF$；标注答案略解析本小题考查了线面垂直．难点是需要证一个线面垂直才能得到证明 $CF\perp$ 平面 $ADF$ 的条件．因为四边形 $ABCD$ 为矩形，所以 $MD \perp DC$，
因为 $PD \perp 平面 ABCD$，$MD \subset 平面 ABCD$，所以 $PD \perp MD$．
又 $PD \cap CD = D$，所以 $ MD \perp 平面 PCD$，
因为 $ CF \subset 平面 PCD$，所以 $ MD \perp CF$．
又 $ MF \perp CF $，$ MF \cap MD = M $，所以 $ CF \perp 平面 MDF$． -
求三棱锥 $M - CDE$ 的体积．标注答案$ V_{M-CDE}=\dfrac{\sqrt 2}{16}$．解析考查三棱锥的体积．因为 $ CF\perp 面 MDF $，$DF\subset 面 MDF$．
所以 $CF\perp DF $，所以在 ${\mathrm{Rt}} \triangle PCD $ 中，$ CD=1$，$PC=2 $，
所以 $\angle {PCD}= 60^ \circ$，且 $CD=1 $，
所以 $ CF=\dfrac{1}{2}$，故 $PF=\dfrac{3}{2} $，所以 $MF=\dfrac{3}{2} $．
又因为 $ CF\perp MF$，故由勾股定理得 $CM=\dfrac{\sqrt {10}}{2}$，
所以在 ${\mathrm {Rt}}\triangle MDC $ 中，$CM=\dfrac{\sqrt {10}}{2} $，$CD=1 $，得 $ DM=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$．
又因为 $F $ 为 $ CP$（靠近 $ C $）的四等分点，故 $ PD=\sqrt 3$．
所以 $E $ 为 $PD $ 的四等分点，故 $ DE=\dfrac{\sqrt 3}{4}$．
所以 $S_{\triangle CDE} =\dfrac{1}{2}CD\cdot DE=\dfrac{1}{2}\times1\times\dfrac{\sqrt 3}{4}=\dfrac{\sqrt 3}{8}$．
所以 $ V_{M-CDE}=\dfrac{1}{3}S_{\triangle CDE}\cdot DM=\dfrac{\sqrt 2}{16}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
