题目 设各项均为正数的数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n $ 项和为 ${S_n}$，且 ${S_n}$ 满足 $S_n^2 - \left( {{n^2} + n - 3} \right){S_n} - 3\left( {{n^2} + n} \right) = 0$，$n \in {\mathbb{N}}^* $． 问题1 求 ${a_1}$ 的值； 答案1 ${a_1} = 2 $． 解析1 本题考查的数列的概念，对 $n$ 赋值，即可解决．令 $n=1 $，得\[S_1^2 + {S_1} - 6 = 0,\]即\[\left({S_1} + 3\right)\left({S_1} - 2\right) = 0,\]因为 $ {S_1} > 0 $，所以 $ {S_1} = 2$，${a_1} = 2 $． 备注1 问题2 求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式； 答案2 数列的通项公式为 ${a_n} = 2n$． 解析2 看到关于 $S_n$ 的式子求通项公式，优先尝试用由通项与和的关系求通项公式的方法．因为\[S_n^2 - \left( {{n^2} + n - 3} \right){S_n} - 3\left( {{n^2} + n} \right) = 0,\]所以\[\left[ {{S_n} - \left({n^2} + n\right)} \right]\left({S_n} + 3\right) = 0 ,\]又数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数，所以\[{S_n} = {n^2} + n .\]当 $n\geqslant 2 $，且 $ n \in {\mathbb{N}}^*$ 时，由通项与前 $n$ 项和的关系可得\[{a_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = 2n ,\]当 $n=1 $ 时，${a_1} = 2 $ 满足通项公式，所以 ${a_n} = 2n$，$n \in {\mathbb{N}}^*$． 备注2 问题3 证明：对一切正整数 $n$，有 $\dfrac{1}{{{a_1}\left( {a_1^{} + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{{a_2}\left( {{a_2} + 1} \right)}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_n}\left({a_n} + 1\right)}} < \dfrac{1}{3}$． 答案3 略． 解析3 证明数列不等式，需要放缩，不等式左边是分式形式数列求和，可以尝试裂项求和，如果得到的结果与证明结果不同，可以适当的调整．因为\[\begin{split}\dfrac{1}{{{a_n}\left({a_n} + 1\right)}} &= \dfrac{1}{2n\left(2n + 1\right)}\\& < \dfrac{1}{\left(2n - 1\right)\left(2n + 1\right)} \\&= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1}\right),\end{split}\]所以\[\begin{split} &\dfrac{1}{{{a_1}\left({a_1} + 1\right)}} + \dfrac{1}{{{a_2}\left({a_2} + 1\right)}} +\cdots+ \dfrac{1}{{{a_n}\left({a_n} + 1\right)}} \\& < \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \cdots + \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1}\right) \\& \overset{\left[a\right]}= \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2n + 1}\right) \\& < \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \\& = \dfrac{1}{3}.\end{split}\]（推导中用到：[a]） 备注3