已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的一个焦点为 $\left(\sqrt 5 ,0\right)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 5 }{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求椭圆 $ C $ 的标准方程；标注答案椭圆 $C $ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$．解析本题考查的椭圆的基本量，属于基础题．由题意知\[\begin{cases}c\overset{\left[a\right]} = \sqrt 5 ,\\e \overset{\left[a\right]}= \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt 5 }{3},\\a^2\overset{\left[b\right]}=b^2+c^2.\end{cases}\]（推导中用到：[a]，[b]）
所以\[\begin{cases}a = 3,\\b = 2,\\c=\sqrt 5.\end{cases}\]椭圆 $C $ 的方程为 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$． -
若动点 $P\left({x_0},{y_0}\right)$ 为椭圆 $C $ 外一点，且点 $ P $ 到椭圆 $ C $ 的两条切线相互垂直，求点 $ P $ 的轨迹方程．标注答案点 $P$ 的轨迹方程为 ${x_0}^2 + {y_0}^2 = 13$．解析本题是求动点的轨迹方程，需要表达两个关键条件，一是过点 $P$ 作两条椭圆的切线；二是这两条切线垂直．直线与椭圆相切，则 $\Delta =0$，且此两条切线互相垂直，斜率相乘等于 $-1$（斜率都存在时）．易错的地方是需要对切线斜率存在与否单独考虑．当切线斜率不存在时，$P$ 点为 $\left(3,2\right),\left(3, - 2\right),\left( - 3,2\right),\left( - 3, - 2\right)$．
当切线斜率存在时，设方程为 $y - {y_0} = k\left( {x - {x_0}} \right)$，由\[\begin{cases}
y - {y_0} = k\left( {x - {x_0}} \right), \\
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1 ,\\
\end{cases}\]联立得\[\left( {4 + 9{k^2}} \right){x^2} + 18k\left({y_0} - k{x_0}\right)x + 9{\left( {{y_0} - k{x_0}} \right)^2} - 36 = 0,\]由直线与椭圆相切，所以\[\Delta = {\left[ {18k\left({y_0} - k{x_0}\right)} \right]^2} - 4\left( {4 + 9{k^2}} \right)\left[ {9{{\left( {{y_0} - k{x_0}} \right)}^2} - 36} \right]= 0,\]整理得\[\left( {9 - {x_0}^2} \right){k^2} + 2{x_0}{y_0}k + 4 - {y_0}^2 = 0.\]设两切线的斜率为 ${k_1}$，${k_2}$，因为两切线垂直，所以 ${k_1}{k_2} = - 1$，故\[{k_1}{k_2} = \dfrac{{4 - {y_0}^2}}{{9 - {x_0}^2}} = - 1,\]于是有\[{x_0}^2 + {y_0}^2 = 13,\]经验证 $\left(3,2\right)$，$ \left(3, - 2\right) $，$ \left( - 3,2\right) $，$\left( - 3, - 2\right)$ 满足 ${x_0}^2 + {y_0}^2 = 13$，
所以 $P$ 点的轨迹方程为 ${x_0}^2 + {y_0}^2 = 13$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
