已知函数 $f\left(x\right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + ax + 1\left( {a \in {\mathbb{R}}} \right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间；标注答案略．解析本小问是考查利用导数研究函数的单调性，过程中需要对参数进行讨论．导函数的正负决定函数的单调性，导函数是二次函数，开口方向确定，故只需讨论根的位置即可．根据题意得\[f'\left(x\right) = {x^2} + 2x + a\left(x \in {\mathbb{R}}\right).\]① 当 $a \geqslant 1$ 时，$\Delta \leqslant 0$，$f'\left(x\right) \geqslant 0$ 恒成立，所以 $f\left(x\right)$ 在 ${\mathbb{R}}$ 上单调递增；
② 当 $a < 1$ 时，$\Delta > 0$，令 $f'\left( x \right) > 0$，得\[x < - 1 - \sqrt {1 - a} 或 x > - 1 + \sqrt {1 - a} ,\]令 $f'\left( x \right) < 0$，得\[- 1 - \sqrt {1 - a} < x < - 1 + \sqrt {1 - a} ,\]所以 $f\left( x \right)$ 的单调递增区间为 $\left( { - \infty , - 1 - \sqrt {1 - a} } \right),\left( { - 1 + \sqrt {1 - a} , + \infty } \right)$，$f\left( x \right)$ 的单调递减区间为 $\left( { - 1 - \sqrt {1 - a} , - 1 + \sqrt {1 - a} } \right)$． -
当 $a < 0$ 时，试讨论是否存在 ${x_0} \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2},1} \right)$，使得 $f\left( x_0 \right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right)$．标注答案当 $a \in\left(-\dfrac{25}{12},-\dfrac{5}{4}\right)\cup\left(-\dfrac{5}{4},-\dfrac{7}{12}\right)$ 时，存在唯一的 $x_0\in\left(0,\dfrac 1 2 \right)\cup\left(\dfrac 1 2 ,1\right)$，使得 $f\left(x_0\right)=f\left(\dfrac 1 2 \right)$ 成立；
当 $a\in\left(-\infty,-\dfrac{25}{12}\right]\cup\left[-\dfrac{7}{12},0\right)\cup\left\{{-\dfrac 5 4 }\right\}$ 时，不存在 $x_0\in\left(0,\dfrac 1 2 \right)\cup\left(\dfrac 1 2 ,1\right)$，使得 $f\left(x_0\right)=f\left(\dfrac 1 2 \right)$ 成立．解析方程 $f\left(x\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ 在区间上有解，即函数 $f\left(x\right)-f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ 在区间上有零点，因此可以将问题转化为利用导数研究函数的零点．由题意得\[ \begin{split}f\left(x\right)-f\left(\dfrac{1}{2}\right)&=\dfrac 1 3 x^3+x^2+ax+1-\left[\dfrac 1 3 \times\left(\dfrac 1 2 \right)^3+\left(\dfrac 1 2 \right)^2+a\times\dfrac 1 2 +1\right]\\&=\dfrac 1 3 \left[x^3-\left(\dfrac 1 2 \right)^3\right]+\left[x^2-\left(\dfrac 1 2 \right)^2\right]+a\left(x-\dfrac 1 2 \right)\\&=\left(x-\dfrac 1 2 \right)\left(\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{7x}{6}+\dfrac{7}{12}+a\right)\\&=\dfrac{1}{12}\left(x-\dfrac 1 2 \right)\left(4x^2+14x+7+12a\right).\end{split}\]所以，若存在 $x_0 \in \left(0,\dfrac 1 2 \right)\cup \left(\dfrac 1 2 ,1\right)$，使得 $f\left(x_0\right)=f\left(\dfrac 1 2 \right)$，即\[f\left(x_0\right)-f\left(\dfrac 1 2 \right)=0,\]则关于 $x$ 的方程 $4x^2+14x+7+12a=0$ 在 $\left(0,\dfrac 1 2 \right)\cup\left(\dfrac 1 2 ,1\right)$ 内必有实数解．
因为 $a<0$，所以\[\Delta={14}^2-16\left(7+12a\right)=4\left(21-48a\right)>0,\]则方程的两根为\[x=\dfrac{-7\pm\sqrt{21-48a}}{4}.\]因为 $x_0>0$，所以 $x_0=\dfrac{-7+\sqrt{21-48a}}{4}$，依题意有\[0<\dfrac{-7+\sqrt{21-48a}}{4}<1, \dfrac{-7+\sqrt{21-48a}}{4}\ne\dfrac{1}{2},\]解得\[-\dfrac{25}{12}<a<-\dfrac{7}{12}, a\ne -\dfrac{5}{4}.\]综上可得：
当 $a \in\left(-\dfrac{25}{12},-\dfrac{5}{4}\right)\cup\left(-\dfrac{5}{4},-\dfrac{7}{12}\right)$ 时，存在唯一的 $x_0\in\left(0,\dfrac 1 2 \right)\cup\left(\dfrac 1 2 ,1\right)$，使得 $f\left(x_0\right)=f\left(\dfrac 1 2 \right)$ 成立；
当 $a\in\left(-\infty,-\dfrac{25}{12}\right]\cup\left[-\dfrac{7}{12},0\right)\cup\left\{{-\dfrac 5 4 }\right\}$ 时，不存在 $x_0\in\left(0,\dfrac 1 2 \right)\cup\left(\dfrac 1 2 ,1\right)$，使得 $f\left(x_0\right)=f\left(\dfrac 1 2 \right)$ 成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
