题目 设函数 $f\left(x\right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\left({x^2} + 2x + k\right)}^2} + 2\left({x^2} + 2x + k\right) - 3} }}$，其中 $k < - 2$． 问题1 求函数 $f\left(x\right)$ 的定义域 $ D $（用区间表示）； 答案1 函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left( { - \infty , - 1 - \sqrt {2 - k} } \right)\cup \left( { - 1 - \sqrt { - k - 2} , - 1 + \sqrt { - k - 2} } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt {2 - k} , + \infty } \right)$． 解析1 本小题考查的是求函数的定义域，难点是解高次不等式的解集．由\[{\left( {{x^2} + 2x + k} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 2x + k} \right) - 3 > 0,\]解得\[{x^2} + 2x + k < - 3 或 {x^2} + 2x + k > 1,\]因为 $k < - 2$，所以得\[- 1 - \sqrt { - k - 2} < x < - 1 + \sqrt { - k - 2} 或 x > - 1 + \sqrt {2 - k} 或 x < - 1 - \sqrt {2 - k} ,\]故定义域为\[\left( { - \infty , - 1 - \sqrt {2 - k} } \right)\cup \left( { - 1 - \sqrt { - k - 2} , - 1 + \sqrt { - k - 2} } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt {2 - k} , + \infty } \right).\] 备注1 问题2 讨论 $f\left(x\right)$ 在区间 $ D $ 上的单调性； 答案2 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left( { - \infty , - 1 - \sqrt {2 - k} } \right),\left( { - 1, - 1 + \sqrt { - k - 2} } \right)$，<br/>单调递减区间为 $\left( { - 1 - \sqrt { - k - 2} , - 1} \right),\left( { - 1 + \sqrt {2 - k} , + \infty } \right)$． 解析2 本小题考查的是求含参函数的单调性，该函数是复合函数，故可以按照复合函数的单调性的求法求得单调区间．令 $t = {x^2} + 2x + k$，则\[y = \dfrac{1}{{\sqrt {{t^2} + 2t - 3} }} \]在 $\left( { - \infty , - 3} \right)$ 单调递增，$\left( {1, + \infty } \right)$ 单调递减．<br/>利用复合函数同增异减法则，得到 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left( { - \infty , - 1 - \sqrt {2 - k} } \right),\left( { - 1, - 1 + \sqrt { - k - 2} } \right)$，<br/>单调递减区间为 $\left( { - 1 - \sqrt { - k - 2} , - 1} \right),\left( { - 1 + \sqrt {2 - k} , + \infty } \right)$． 备注2 问题3 若 $k < - 6$，求 $D $ 上满足条件 $f\left(x\right) > f\left(1\right)$ 的 $x$ 的集合（用区间表示）． 答案3 解集为\[\left( { - 1 - \sqrt { - 2k - 4} , - 1 - \sqrt {2 - k} } \right) \cup \left( { - 1 - \sqrt { - k - 2} , - 3} \right) \cup \left( {1, - 1 + \sqrt { - k - 2} } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt {2 - k} , - 1 + \sqrt { - 2k - 4} } \right).\] 解析3 解函数不等式，需要注意单调性与定义域．令 $f\left(x\right) > f\left(1\right)$，得\[{\left( {{x^2} + 2x + k} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 2x + k} \right) - 3 < {\left( {3 + k} \right)^2} + 2\left( {3 + k} \right) - 3,\]即\[\left( {{x^2} + 2x + 2k + 5} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) < 0.\]因为 $k < - 6$，且\[x \in \left( { - 1 - \sqrt { - k - 2} , - 1 + \sqrt { - k - 2} } \right) \cup \left( { - \infty , - 1 - \sqrt {2 - k} } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt {2 - k} , + \infty } \right),\]所以解得\[ - 1 - \sqrt { - 2k - 4} < x < - 1 - \sqrt {2 - k} ,\]或\[ - 1 - \sqrt { - k - 2} < x < - 3,\]或\[1 < x < - 1 + \sqrt { - k - 2}, \]或\[- 1 + \sqrt {2 - k} < x < - 1 + \sqrt { - 2k - 4} ,\]所以解集为\[\left( { - 1 - \sqrt { - 2k - 4} , - 1 - \sqrt {2 - k} } \right) \cup \left( { - 1 - \sqrt { - k - 2} , - 3} \right) \cup \left( {1, - 1 + \sqrt { - k - 2} } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt {2 - k} , - 1 + \sqrt { - 2k - 4} } \right).\] 备注3