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若定义在 $(0,1)$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(x)>0$ 且对任意的 $x\in (0,1)$，有 $f\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)=2f(x)$，则 \((\qquad)\)
A: 对任意的正数 $M$，存在 $x\in (0,1)$，使得 $f(x)\geqslant M$
B: 存在正数 $M$，对任意的 $x\in (0,1)$，有 $f(x)\leqslant M$
C: 对任意的 $x_1,x_2\in(0,1)$，且 $x_1<x_2$，有 $f(x_1)<f(x_2)$
D: 对任意的 $x_1,x_2\in(0,1)$，且 $x_1<x_2$，有 $f(x_1)>f(x_2)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的有界性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    迭代函数
【答案】
A
【解析】
选项 AB 研究函数 $f(x)$ 的有界性，选项 CD 研究函数 $f(x)$ 的单调性．
有界性记数列 $a_0=a$，且\[a_{n+1}=\dfrac{2a_n}{1+a_n^2},\]则有 $a_n\in (0,1)$（$n\in\mathbb Z$），此时有\[f(a_n)=2^n\cdot f(a),\]因此函数 $f(x)$ 无界，选项 A 正确，选项 B 错误．
单调性 考虑到\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2}{1+a_n^2}>1,\]于是 $\{a_n\}$ 单调递增，又 $f(a_n)$ 也单调递增，因此选项 D 错误．由于集合\[P(k)=\{x\mid a_k\leqslant x<a_{k+1}\}\]构成 $(0,1)$ 的一个分划．而对集合 $P(m)$（$m\in\mathbb Z$）中的任何一个实数 $x_m$ 都存在唯一的 $x_0\in P(0)$，且 $x_m$ 在以 $a=x_0$ 为初值的双向无穷数列中，记 $x_0=\varphi(x_m)$．构造函数\[f(x)=\begin{cases} 3-\dfrac{3}{a_1-a_0}\cdot \left|x-\dfrac{a_0+2a_1}3\right|,&x\in P(0),\\
2^k\cdot f(\varphi(x)),&x\in P(k),k\ne 0,\end{cases}\]则 $f(x)$ 是符合题意的函数，且 $f(x)$ 不是单调递增函数，选项 C 错误．
题目 答案 解析 备注
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