若 $a > 0$，$b > 0$，且 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \sqrt {ab} $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 ${a^3} + {b^3}$ 的最小值；标注答案$ 4\sqrt 2 $解析本题考查均值不等式的应用．根据三元均值不等式求出最小值，同时注意多次运用均值不等式时，等号成立条件要注意．因为\[ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \overset{\left[a\right]}\geqslant \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }},\]（推导中用到：$\left[a\right]$）
所以\[\sqrt{ab}\geqslant \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }}, \]解得 $ab \geqslant 2$，当且仅当 $a = b = \sqrt 2 $ 时等号成立．
故\[{a^3} + {b^3}\overset{\left[b\right]} \geqslant 2\sqrt {{a^3}{b^3}} \geqslant 4\sqrt 2 ,\]（推导中用到：$\left[b\right]$）
且当 $a = b = \sqrt 2 $ 时等号成立．
所以 $ {a^3} + {b^3} $ 的最小值为 $ 4\sqrt 2 $． -
是否存在 $a$，$b$，使得 $2a + 3b = 6$？并说明理由．标注答案不存在解析本题考查均值不等式的应用．由（1）知\[2a+3b\overset{\left[c\right]} \geqslant 2 \sqrt 6 \sqrt{ab} \geqslant 4 \sqrt 3,\]（推导中用到：$\left[c\right]$）
由于 $4\sqrt 3 > 6$，从而不存在 $a,b$ 使得 $2a + 3b = 6$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
