题目 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $4{\sin ^2}\dfrac{A - B}{2} + 4\sin A\sin B = 2 + \sqrt 2 $． 问题1 求角 $C$ 的大小； 答案1 $ \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}$． 解析1 本题需要对三角代数式不断地化简整理，注意到 $C={\mathrm \pi}-(A+B)$，即可求得结果．因为\[\begin{split}4{\sin ^2}\dfrac{A - B}{2} + 4\sin A\sin B&\overset{\left[a\right]}=2\left[1 - \cos \left(A - B\right)\right] + 4\sin A\sin B\\&\overset{\left[b\right]}= 2- 2\cos A\cos B + 2\sin A\sin B\\&\overset{\left[c\right]}=2-2\cos\left(A+B\right)\\&=2+\sqrt 2,\end{split} \]（推导中用到：[a][b][c]）<br/>所以\[\cos \left(A + B\right)= - \dfrac{\sqrt 2 }{2},\]所以\[A + B = \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{4},\]而 $A + B + C ={\mathrm \pi} $，所以 $C = \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}$． 备注1 问题2 已知 $b = 4$，$\triangle ABC$ 的面积为 $ 6 $，求边长 $c$ 的值． 答案2 $ \sqrt {10} $． 解析2 这道题用面积公式加正、余弦定理即可解决．由三角形的面积公式\[{S_{\triangle{ABC} }} = \dfrac{1}{2}ab\sin C,\]且 ${S_{\triangle ABC}} = 6$，$b = 4$，$C = \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}$，可得 $a = 3\sqrt 2 $，<br/>由余弦定理\[{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C,\]可得 $c = \sqrt {10} $． 备注2