已知等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的公差 $d > 0$，设 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_1} = 1$，${S_2} \cdot {S_3} = 36$．
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（文）
【标注】
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求 $d$ 及 ${S_n}$；标注答案$d = 2 $，${S_n} = {n^2}\left(n \in{\mathbb{N}}^ * \right)$．解析代入等差数列的基本量，列式子即可求解．由 ${S_2} \cdot {S_3} = 36$ 且 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列可知\[\left(2{a_1} + d\right)\left(3{a_1} + 3d\right) = 36,\]将 ${a_1} = 1$ 代入上式得\[d = 2 或 d = - 5,\]因为 $d > 0$，所以 $d = 2$，从而\[{a_n} = 2n - 1,{S_n} = {n^2}\left(n \in{\mathbb{N}}^ * \right).\]
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求 $m,k\left(m,k \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 的值，使得 ${a_m} + {a_{m + 1}} + {a_{m + 2}} + \cdots + {a_{m + k}} = 65$．标注答案$ m = 5$，$k = 4 $．解析代入基本量后，抓住 $m,k \in {\mathbb{N}}^*$ 的特点，分类讨论即可．由（1）知\[{a_m} + {a_{m + 1}} + \cdots+ {a_{m + k}} \overset{\left[a\right]}= \left(2m + k - 1\right)\left(k + 1\right),\]（推导中用到：[a]）所以\[\left(2m + k - 1\right)\left(k + 1\right) = 65,\]由 $m,k \in {\mathbb{N}}^ * $ 知，$2m+k-1,k+1\in{\mathbb N^* }$，且\[2m + k - 1>k + 1 >1,\]所以\[{\begin{cases}
2m + k - 1 = 13 ,\\
k + 1 = 5, \\
\end{cases}}\]所以 $ m = 5$，$k = 4 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
