已知函数 $f\left( x \right) = {x^3} + 3|x - a|\left(a > 0\right)$，若 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ - 1,1\right]$ 上的最小值记为 $g\left(a\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $g\left(a\right)$；标注答案$g\left(a\right) = {\begin{cases}
{a^3},&0 < a < 1. \\
- 2 + 3a,&a \geqslant 1 .\\
\end{cases}}$解析本题需要先分类讨论去掉绝对值，然后利用导数求单调性，最终确定最值．因为 $ - 1 \leqslant x \leqslant 1$，
① 当 $0 < a < 1$ 时，
若 $x \in \left[ - 1,a\right]$，则 $f\left(x\right) = {x^3} - 3x + 3a$，令\[f'\left(x\right) = 3{x^2} - 3 \leqslant 0,\]得 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ - 1,a\right)$ 上是减函数；
若 $x \in \left[a,1\right]$，则 $f\left(x\right) = {x^3} + 3x - 3a$，令\[f'\left(x\right) = 3{x^2} + 3 \geqslant 0,\]得 $f\left(x\right)$ 在 $\left(a,1\right] $ 上是增函数．
所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ - 1,1\right]$ 上的最小值\[g\left(a\right) = f\left(a\right) = {a^3}.\]② 当 $a \geqslant 1$，有 $x \leqslant a$，则 $f\left(x\right) = {x^3} - 3x + 3a$，令\[f'\left(x\right) = 3{x^2} - 3 \leqslant 0,\]故 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ - 1,1\right]$ 上是减函数．
所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ - 1,1\right]$ 上的最小值\[g\left(a\right) = f\left(1\right) = - 2 + 3a,\]综上所述，\[g\left(a\right) = {\begin{cases}
{a^3},&0 < a < 1. \\
- 2 + 3a,&a \geqslant 1 .\\
\end{cases}}\] -
证明：当 $x \in \left[ - 1,1\right]$ 时，恒有 $f\left(x\right) \leqslant g\left(a\right) + 4$．标注答案略解析本题需要在第一问确定单调性的基础上，继续分类讨论确定函数的最大值．令\[h\left(x\right) = f\left(x\right) - g\left(a\right),\]① 当 $0 < a < 1$ 时，$g\left(a\right) = {a^3}$，
若 $x \in \left[a,1\right]$，则 $h\left(x\right) = {x^3} + 3x - 3a-a^3$，于是\[h'\left(x\right) = 3{x^2} + 3,\]所以 $h\left(x\right)$ 在 $\left(a,1\right)$ 上是增函数，所以 $h\left(x\right)$ 在 $\left[a,1\right]$ 上的最大值是\[h\left(1\right) = 4 - 3a - {a^3},\]且 $0 < a < 1$，所以 $h\left(1\right)<4$，故\[f\left(x\right) < g\left(a\right) + 4.\]若 $x \in \left[ - 1,a\right]$，则 $h\left(x\right) = {x^3} - 3x + 3a - {a^3}$，于是\[h'\left(x\right) = 3{x^2} - 3,\]所以 $h\left(x\right)$ 在 $\left( - 1,a\right)$ 上是减函数，所以 $h\left(x\right)$ 在 $\left[ - 1,a\right]$ 上的最大值是\[h\left( - 1\right) = 2 + 3a - {a^3},\]令 $t\left(a\right) = 2 + 3a - {a^3}$，则\[t'\left(a\right) = 3 - 3{a^2} > 0,\]所以 $t\left(a\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上是增函数，所以\[t\left(a\right) < t\left(1\right) = 4,\]即\[h\left( - 1\right) < 4,\]故\[f\left(x\right) < g\left(a\right) + 4.\]② 当 $a \geqslant 1$ 时，$g\left(a\right) = - 2 + 3a$，所以 $h\left(x\right) = {x^3} - 3x + 2$，于是\[h'\left(x\right) = 3{x^2} - 3,\]此时 $h\left(x\right)$ 在 $\left( - 1,1\right)$ 上是减函数，因此 $h\left(x\right)$ 在 $\left[ - 1,1\right]$ 上的最大值是\[h\left( - 1\right) = 4,\]故\[f\left(x\right) \leqslant g\left(a\right) + 4,\]综上所述，当 $x \in \left[ - 1,1\right]$ 时，恒有 $f\left(x\right) \leqslant g\left(a\right) + 4$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
