$ \left(\dfrac{{ - k{a^2}}}{{\sqrt {{a^2}{k^2} + {b^2}} }}, \dfrac{b^2}{{\sqrt {{a^2}{k^2} + {b^2}} }}\right)$．

注意直线与圆相切的条件，联立直线与圆锥曲线后利用判别式等于零可解决．设直线方程为 $y = kx + m$ $\left(k<0\right)$，由\[\begin{cases}
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{{{b^{^2}}}} = 1, \\
y = kx + m ,\\
\end{cases}\]消去 $y $，得\[\left(\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{k^2}{b^2}\right){x^2} + \dfrac{2km}{b^2}x + \dfrac{m^2}{b^2} - 1 = 0,\]因为 $l $ 与 $ C$ 只有一个公共点 $P$，所以 $\Delta = 0$，得\[{m^2} = {b^2} + {a^2}{k^2}.\]此时方程的解为 $x=\dfrac{{ - k{a^2}}m}{{ {{a^2}{k^2} + {b^2}} }}$，即为点 $P$ 的横坐标，代入直线 $y=kx+m$，可得点 $P$ 的纵坐标为 $\dfrac{{b^2}m}{{ {{a^2}{k^2} + {b^2}} }}$，于是点 $ P$ 的坐标为\[\left(\dfrac{{ - k{a^2}}m}{{ {{a^2}{k^2} + {b^2}} }}, \dfrac{{b^2}m}{{ {{a^2}{k^2} + {b^2}} }}\right).\]又点 $P $ 在第一象限，故点 $P $ 的坐标为 $ \left(\dfrac{{ - k{a^2}}}{{\sqrt {{a^2}{k^2} + {b^2}} }}, \dfrac{b^2}{{\sqrt {{a^2}{k^2} + {b^2}} }}\right)$．

略

按点到直线的距离公式列出距离，然后注意变形后求最值即可．由于直线 $l_1 $ 过原点 $O $ 且与 $ l $ 垂直，故直线 $l_1 $ 的方程为 $x+ky=0 $，
设点 $ P$ 到直线 $l_1 $ 距离为 $ d$，则\[d=\dfrac{{\left|{\dfrac{-a^2k}{\sqrt{b^2+a^2k^2}}+\dfrac{b^2k}{\sqrt{b^2+a^2k^2}}}\right|}}{\sqrt{1+k^2}},\]整理得\[d=\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{b^2+a^2+a^2k^2+\dfrac{b^2}{k^2}}} .\]因为 $a^2k^2+\dfrac{b^2}{k^2} \geqslant 2ab$，所以\[\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{b^2+a^2+a^2k^2+\dfrac{b^2}{k^2}}}\leqslant \dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{b^2+a^2+2ab}} =a-b,\]当且仅当 $ k^2=\dfrac{b}{a}$ 时等号成立．
所以点 $P $ 到直线 $ l_1$ 的距离的最大值为 $a-b $．