${\mathrm \pi} $ 为圆周率，${\mathrm{e}} = 2.718 28 \cdots $ 为自然对数的底数．
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（文）
【标注】
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求函数 $f\left(x\right) = \dfrac{\ln x}{x}$ 的单调区间；标注答案函数 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left(0, {\mathrm{e}}\right)$，单调递减区间为 $\left({\mathrm{e}}, + \infty \right)$．解析直接利用导数确定单调性即可．函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left(0, + \infty \right)$．
因为 $f\left(x\right) = \dfrac{\ln x}{x}$，所以 $f'\left(x\right) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$．
当 $f'\left(x\right) > 0$，即 $0 < x < {\mathrm{e}}$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 单调递增；
当 $f'\left(x\right) < 0$，即 $x > {\mathrm{e}}$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 单调递减．
故函数 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left(0, {\mathrm{e}}\right)$，单调递减区间为 $\left({\mathrm{e}}, + \infty \right)$． -
求 ${{\mathrm{e}}^3},{3^{\mathrm{e}}},{{\mathrm{e}}^{\mathrm \pi} } , {{\mathrm \pi} ^{\mathrm{e}}} , {3^{\mathrm \pi} } , {{\mathrm \pi} ^3}$ 这 $ 6 $ 个数中的最大数与最小数．标注答案最大数为 ${3^{\mathrm{\mathrm \pi} } }$，最小数为 ${3^{\mathrm{e}}}$．解析本题除了要充分利用指数函数和对数函数的性质之外，还要合理的构造新的式子才能解决．因为 ${\mathrm{e}} < 3 < {\mathrm{\mathrm \pi} } $，所以\[\begin{split}{\mathrm{e}}\ln 3 & < {\mathrm{e}}\ln {\mathrm{\mathrm \pi} } ,\\ {\mathrm{\mathrm \pi} } \ln {\mathrm{e}} & < {\mathrm{\mathrm \pi} } \ln 3,\end{split}\]即\[\begin{split}\ln {3^{\mathrm{e}}} & < \ln {{\mathrm{\mathrm \pi} } ^{\mathrm{e}}} ,\\ \ln {{\mathrm{e}}^{\mathrm{\mathrm \pi} } } & < \ln {3^{\mathrm{\mathrm \pi} } },\end{split}\]于是根据函数 $y = \ln x $，$ y = {{\mathrm{e}}^x} $，$y = {{\mathrm{\mathrm \pi} } ^x}$ 在定义域上单调递增，可得\[{3^{\mathrm{e}}} < {{\mathrm{\mathrm \pi} } ^{\mathrm{e}}} < {{\mathrm{\mathrm \pi} } ^3} , \\ {{\mathrm{e}}^3} < {{\mathrm{e}}^{\mathrm{\mathrm \pi} } } < {3^{\mathrm{\mathrm \pi} } },\]故这 $ 6 $ 个数的最大数在 ${{\mathrm{\mathrm \pi} } ^3}$ 与 ${3^{\mathrm{\mathrm \pi} } }$ 之中，最小数在 ${3^{\mathrm{e}}}$ 与 ${{\mathrm{e}}^3}$ 之中，
由 ${\mathrm{e}} < 3 < {\mathrm{\mathrm \pi} } $ 及 $f\left(x\right)$ 在 $\left({\mathrm{e}}, + \infty \right)$ 上单调递减得\[f\left({\mathrm{\mathrm {\mathrm \pi} } } \right) < f\left(3\right) < f\left({\mathrm{e}}\right),\]即\[\dfrac{{\ln {\mathrm{\mathrm \pi} } }}{{\mathrm{\mathrm \pi} } } < \dfrac{\ln 3}{3} < \dfrac{{\ln {\mathrm{e}}}}{{\mathrm{e}}},\]由 $\dfrac{{\ln {\mathrm{\mathrm \pi} } }}{{\mathrm{\mathrm \pi} } } < \dfrac{\ln 3}{3}$ 得 $\ln {{\mathrm{\mathrm \pi} } ^3} < \ln {3^{\mathrm{\mathrm \pi} } }$，所以\[{3^{\mathrm{\mathrm \pi} } } > {{\mathrm{\mathrm \pi} } ^3},\]由 $\dfrac{\ln 3}{3} < \dfrac{{\ln {\mathrm{e}}}}{{\mathrm{e}}}$ 得 $\ln {3^{\mathrm{e}}} < \ln {{\mathrm{e}}^3}$，所以\[{3^{\mathrm{e}}} < {{\mathrm{e}}^3},\]综上，$ 6 $ 个数中的最大数为 ${3^{\mathrm{\mathrm \pi} } }$，最小数为 ${3^{\mathrm{e}}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
