${y^2} = \begin{cases}
4x,&x \geqslant 0 ,\\
0, &x < 0 .\\
\end{cases}$

利用定义或者按直译法求轨迹即可．设点 $M\left(x,y\right)$，依题意，$|MF| = |x| + 1$，即\[\sqrt {{{\left(x - 1\right)}^2} + {y^2}} = |x| + 1,\]整理得\[{y^2} = 2\left(|x| + x\right),\]所以点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程为\[{y^2} = \begin{cases}
4x,&x \geqslant 0 ,\\
0, &x < 0 .\\
\end{cases}\]

当 $k \in \left( - \infty , - 1\right) \cup \left(\dfrac{1}{2}, + \infty \right)\cup \left\{0\right\}$ 时，直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有一个公共点；
当 $k \in \left\{ - 1,\dfrac{1}{2}\right\} \cup \left[ - \dfrac{1}{2},0\right)$ 时，直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有两个公共点；
当 $k \in \left( - 1,-\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ 时，直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有三个公共点．

直接利用判别式确定直线与抛物线的位置关系即可，注意对射线单独判断．在点 $M$ 的轨迹 $C$ 中，记\[\begin{split}{C_1}&:{y^2} = 4x\left(x \geqslant 0\right),\\ {C_2}&:y = 0\left(x < 0\right),\end{split}\]依题意，设直线 $l$ 的方程为 $y - 1 = k\left(x + 2\right)$，由方程组\[ \begin{cases}y - 1 = k\left(x + 2\right) ,\\
{y^2} = 4x ,\\
\end{cases} \]得\[k{y^2} - 4y + 4\left(2k + 1\right) = 0, \quad \cdots \cdots ① \]当 $k = 0$ 时，此时 $y = 1$，把 $y = 1$ 代入轨迹 $C$ 的方程得 $x = \dfrac{1}{4}$，
所以此时直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有一个公共点$\left(\dfrac{1}{4},1\right)$．
当 $k \ne 0$ 时，方程 ① 的判别式为\[\Delta = - 16\left(2{k^2} + k - 1\right), \quad \cdots \cdots ② \]设直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $\left({x_0},0\right)$，则由\[y - 1 = k\left(x + 2\right),\]令 $y = 0$，得\[{x_0} =- \dfrac{2k + 1}{k}, \quad \cdots \cdots ③ \]（i）若\[ \begin{cases}
\Delta < 0 ,\\
{x_0} < 0, \\
\end{cases}\]由 ②③ 解得\[k < - 1 或 k > \dfrac{1}{2}.\]即当 $k \in \left( - \infty , - 1\right) \cup \left(\dfrac{1}{2}, + \infty \right)$ 时，直线 $l$ 与 ${C_1}$ 没有公共点，与 ${C_2}$ 有一个公共点，故此时直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有一个公共点．
（ii）若\[\begin{cases}
\Delta = 0 \\
{x_0} < 0 \\
\end{cases}或\begin{cases}\Delta > 0, \\
{x_0} \geqslant 0 ,\\
\end{cases}\]由 ②③ 解得\[k \in \left\{ - 1,\dfrac{1}{2}\right\} 或 - \dfrac{1}{2} \leqslant k < 0,\]即当 $k \in \left\{ - 1,\dfrac{1}{2}\right\} $ 时，直线 $l$ 与 ${C_1}$ 有一个共点，与 ${C_2}$ 有一个公共点．
当 $k \in \left[ - \dfrac{1}{2},0\right)$ 时，直线 $l$ 与 ${C_1}$ 有两个共点，与 ${C_2}$ 没有公共点．
故当 $k \in \left\{ - 1,\dfrac{1}{2}\right\} \cup \left[ - \dfrac{1}{2},0\right)$ 时，直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有两个公共点．
（iii）若\[\begin{cases}
\Delta > 0 ,\\
{x_0} < 0, \\
\end{cases}\]由 ②③ 解得\[ - 1 < k < - \dfrac{1}{2} 或 0 < k < \dfrac{1}{2},\]即当 $k \in \left( - 1,-\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ 时，直线 $l$ 与 ${C_1}$ 有两个共点，与 ${C_2}$ 有一个公共点．
故此时直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有三个公共点．
综上所述，
当 $k \in \left( - \infty , - 1\right) \cup \left(\dfrac{1}{2}, + \infty \right)\cup \left\{0\right\}$ 时，直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有一个公共点；
当 $k \in \left\{ - 1,\dfrac{1}{2}\right\} \cup \left[ - \dfrac{1}{2},0\right)$ 时，直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有两个公共点；
当 $k \in \left( - 1,-\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ 时，直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有三个公共点．