圆 ${x^2} + {y^2} = 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如图），双曲线 ${C_1}:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt 3 $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 ${C_1}$ 的方程；标注答案${x^2} - \dfrac{y^2}{2} = 1$．解析先根据直线与圆的关系求出 $P$ 点的坐标，然后利用基本量求出双曲线．设切点坐标为 $\left({x_0},{y_0}\right)\left({x_0} > 0,{y_0} > 0\right)$，则切线斜率为 $ - \dfrac{x_0}{y_0}$，切线方程为\[y - {y_0} = - \dfrac{x_0}{y_0}\left(x - {x_0}\right),\]即\[{x_0}x + {y_0}y = 4,\]此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{x_0} \cdot \dfrac{4}{y_0} = \dfrac{8}{{{x_0}{y_0}}},\]由 ${x_0}^2 + {y_0}^2 = 4 \geqslant 2{x_0}{y_0}$，可知，当且仅当 ${x_0} = {y_0} = \sqrt 2 $ 时，${x_0}{y_0}$ 有最大值，即 $ S $ 有最小值，因此点 $ P $ 的坐标为 $\left(\sqrt 2 ,\sqrt 2 \right)$．
由题意知\[\begin{cases}
\dfrac{2}{a^2} - \dfrac{2}{b^2} = 1 ,\\
{a^2} + {b^2} = 3{a^2} .\\
\end{cases}\]解得\[\begin{cases}{a^2} = 1,\\ {b^2} = 2.\end{cases}\]故 ${C_1}$ 方程为 ${x^2} - \dfrac{y^2}{2} = 1$． -
椭圆 ${C_2}$ 过点 $P$ 且与 ${C_1}$ 有相同的焦点，直线 $l$ 过 ${C_2}$ 的右焦点且与 ${C_2}$ 交于 $A$，$B$ 两点，若以线段 $AB$ 为直径的圆过点 $P$，求 $l$ 的方程．标注答案$x - \left(\dfrac{3\sqrt 6 }{2} - 1\right)y - \sqrt 3 = 0$ 或 $ x + \left(\dfrac{\sqrt 6 }{2} - 1\right)y - \sqrt 3 = 0.$解析先根据条件确定 $C_2$ 的方程，然后设出 $l$ 的方程，根据条件列出关系式求出系数即可．由（1）知 ${C_2}$ 的焦点坐标为 $\left( - \sqrt 3 ,0\right)$，$\left(\sqrt 3 ,0\right)$，由此设 ${C_2}$ 的方程为\[\dfrac{x^2}{{3 + {b_1}^2}} + \dfrac{y^2}{{{b_1}^2}} = 1,\]其中 ${b_1} > 0$，由 $P\left(\sqrt 2 ,\sqrt 2 \right)$ 在 ${C_2}$ 上，得\[\dfrac{2}{{3 + {b_1}^2}} + \dfrac{2}{{{b_1}^2}} = 1,\]解得 $ b_{1}^2=3 $，因此 $ C_{2} $ 的方程为\[\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1.\]显然，$ l $ 不是直线 $ y=0 $，设 $ l $ 的方程为 $x=my+\sqrt 3 $，点 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，联立\[\begin{cases}
x = my + \sqrt 3 , \\
\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1. \\
\end{cases}\]得\[\left({m^2} + 2\right){y^2} + 2\sqrt 3 my - 3 = 0,\]又 ${y_1}$，${y_2}$ 是方程的根，因此\[\begin{cases}{y_1} + {y_2} = - \dfrac{2\sqrt 3 m}{m^{2}+ 2}, \quad \cdots \cdots ① \\
{y_1}{y_2} = \dfrac{ - 3}{m^{2} + 2}.\quad \cdots \cdots ②
\end{cases}\]由 ${x_1} = m{y_1} + \sqrt 3 $，${x_2} = m{y_2} + \sqrt 3 $，得\[\begin{cases}{x_1} + {x_2} = m\left({y_1} + {y_2}\right) + 2\sqrt 3 = \dfrac{4\sqrt 3 }{m^{2} + 2}, \quad \cdots \cdots ③ \\
{x_1}{x_2} = {m^2}{y_1}{y_2} + \sqrt 3 m\left({y_1} + {y_2}\right) + 3 = \dfrac{6 - 6m^{2}}{m^{2} + 2}. \quad \cdots \cdots ④ \\
\end{cases}\]因为\[\overrightarrow {AP} = \left(\sqrt 2 - {x_1},\sqrt 2 - {y_1}\right), \overrightarrow {BP} = \left(\sqrt 2 - {x_2},\sqrt 2 - {y_2}\right).\]由题意知 $\overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {BP} = 0$，所以\[{x_1}{x_2} - \sqrt 2 \left({x_1} + {x_2}\right) + {y_1}{y_2} - \sqrt 2 \left({y_1} + {y_2}\right) + 4 = 0, \quad \cdots \cdots ⑤ \]将 $ ① , ② , ③ , ④ $ 代入 $ ⑤ $ 式整理得\[2{m^2} - 2\sqrt 6 m + 4\sqrt 6 - 11 = 0,\]解得\[m = \dfrac{3\sqrt 6 }{2} - 1 或 m = - \dfrac{\sqrt 6 }{2} + 1,\]因此直线 $ l $ 的方程为 $x - \left(\dfrac{3\sqrt 6 }{2} - 1\right)y - \sqrt 3 = 0$ 或 $ x + \left(\dfrac{\sqrt 6 }{2} - 1\right)y - \sqrt 3 = 0.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
