双曲线 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的离心率为 $\sqrt 2 $，$A\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$，$B\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$ 两点在双曲线上，且 ${x_1} \ne {x_2}$．若线段 $AB$ 的垂直平分线经过点 $Q\left( {4 ,0} \right)$，且线段 $AB$ 的中点坐标为 $\left( {{x_0} , {y_0}} \right)$，则 ${x_0}$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年浙江大学自主招生考试
【标注】
【答案】
B
【解析】
由于双曲线的离心率为 $\sqrt 2 $，所以 $a = b$．设直线 $AB$ 的方程为 $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$，则其垂直平分线为 $y = - \dfrac{1}{k}\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$，过点 $\left( {4,0} \right)$，所以 $ - \dfrac{1}{k}\left( {4 - {x_0}} \right) + {y_0} = 0$ 即 $k{y_0} = 4 - {x_0}$．根据双曲线的垂径定理，有$$\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \cdot k = \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}},$$所以$${x_0} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \cdot k{y_0} = 4 - {x_0},$$解得 ${x_0} = 2$．
题目
答案
解析
备注
