$y = x - 1$．

直接利用导数求出切线的斜率即可得到方程．设 $f\left( x \right) = \dfrac{\ln x}{x}$，则\[f'\left( x \right) \overset{\left[a\right]}= \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\]（推导中用到：[a]）
所以 $L$ 的斜率 $k=f'\left( 1 \right) = 1$，所以 $L$ 的方程为 $y = x - 1$．

略．

构造函数 $g\left( x \right) = x - 1 - f\left( x \right)$，则证明 $g\left(x\right)>0,x\in\left(0,1\right)\cup \left(1,+\infty\right)$ 恒成立即可．令 $g\left( x \right) = x - 1 - f\left( x \right)$，则除切点之外，曲线 $C$ 在直线 $L$ 的下方等价于\[g\left(x\right)\overset{\left[b\right]}>0,x\in\left(0,1\right)\cup \left(1,+\infty\right).\]（推导中用到：[b]）
$g\left( x \right)$ 满足 $g\left( 1 \right) = 0$，且\[g'\left( x \right) = 1 - f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 1 + \ln x}}{x^2}. \]当 $0 < x < 1$ 时，\[{x^2} - 1 < 0, \ln x < 0,\]所以 $g'\left( x \right) < 0$，故 $g\left( x \right)$ 单调递减；
当 $x > 1$ 时，\[{x^2} - 1 > 0, \ln x > 0,\]所以 $g'\left( x \right) > 0$，故 $g\left( x \right)$ 单调递增．所以 $g\left(x\right)$ 在 $x=1$ 处取得最小值．故\[g\left(x \right) > g\left( 1 \right) = 0\left( {\forall x > 0,x \ne 1} \right).\]所以除切点之外，曲线 $C$ 在直线 $L$ 的下方．