设函数 $f\left(x\right) = \dfrac{\sqrt 3 }{2} - \sqrt 3 {\sin ^2}\omega x - \sin \omega x\cos \omega x\left(\omega > 0\right)$，且 $y = f\left(x\right)$ 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 $\dfrac{\mathrm \pi} {4}$．
【难度】
【出处】
2013年高考山东卷（文）
【标注】
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求 $\omega $ 的值；标注答案$\omega = 1$．解析本题主要考查的是三角恒等变换，由倍角公式与辅助角公式，对函数 $f(x)$ 化简，以便研究其性质．由题意得\[ \begin{split}f\left(x\right) &= \dfrac{\sqrt 3 }{2} - \sqrt 3 {\sin ^2}\omega x - \sin \omega x\cos \omega x \\
& \overset{\left[a\right]}= \dfrac{\sqrt 3 }{2} - \sqrt 3 \cdot \dfrac{1 - \cos 2\omega x}{2} - \dfrac{1}{2}\sin 2\omega x\\
&= \dfrac{\sqrt 3 }{2}\cos 2\omega x - \dfrac{1}{2}\sin 2\omega x\\
&\overset{\left[b\right]}= - \sin \left( {2\omega x - \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right).\end{split} \]（推到中用到：[a]，[b]）
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 $\dfrac{\mathrm \pi} {4}$，又 $\omega > 0$，所以由正弦型函数的图象与性质可得\[\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{2\omega } = 4 \times \dfrac{\mathrm \pi} {4} ,\]因此 $\omega = 1$． -
求 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ {{\mathrm \pi} ,\dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2}} \right]$ 上的最大值和最小值．标注答案$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ {{\mathrm \pi} ,\dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2}} \right]$ 上的最大值和最小值分别为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2},- 1$．解析本题考查的正弦型三角函数的图象与性质．由（1）知 $f\left(x\right) = - \sin \left( {2x - \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right)$．当 ${\mathrm \pi} \leqslant x \leqslant \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2}$ 时，\[\dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{3} \leqslant 2x - \dfrac{\mathrm \pi} {3} \leqslant \dfrac{{8{\mathrm \pi} }}{3}.\]所以\[ - \dfrac{\sqrt 3 }{2}\leqslant \sin \left( {2x - \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right) \leqslant 1.\]因此\[ - 1 \leqslant f\left(x\right) \leqslant \dfrac{\sqrt 3 }{2}.\]故 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ {{\mathrm \pi} ,\dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2}} \right]$ 上的最大值和最小值分别为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2},- 1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
