椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2} + {y^2} = 1$．

本问考查了椭圆的基本量，属于基础题．设椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$，由题意知\[ \begin{cases}
{a^2} \overset{\left[a\right]}= {b^2} + {c^2}, \\
\dfrac{c}{a} \overset{\left[b\right]}= \dfrac{\sqrt 2 }{2}, \\
2b = 2, \\
\end{cases} \]（推导中用到：[a]，[b]）解得\[ \begin{cases}a = \sqrt 2 , \\
b = 1, \\
\end{cases} \]因此椭圆 $C$ 的方程为\[\dfrac{x^2}{2} + {y^2} = 1.\]

$t = 2$ 或 $t = \dfrac{2\sqrt 3 }{3}$．

此问计算量大，关键条件一个是 $\triangle AOB$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 6}{4}$，另一个是 $O$，$P$，$E$ 共线，且 $E$ 是中点，$P$ 在椭圆上．分别将其用等量关系表达出来．问题即可解决．但在设直线方程时，需要特别注意是直线斜率不存在这种情况，需要单独说．（i）当 $A$，$B$ 两点关于 $x$ 轴对称时，设直线 $AB$ 的方程为 $x = m$．由题意得\[ - \sqrt 2 < m < 0 或 0 < m < \sqrt 2 .\]将 $x = m$ 代入椭圆方程 $\dfrac{x^2}{2} + {y^2} = 1$，得\[|y| = \sqrt {\dfrac{{2 - {m^2}}}{2}} ,\]所以 $\triangle AOB$ 的面积\[\begin{split}{S_{\triangle AOB}} & = |m| \cdot \sqrt {\dfrac{{2 - {m^2}}}{2}} & = \dfrac{\sqrt 6 }{4}.\end{split}\]解得\[{m^2} = \dfrac{3}{2} 或 {m^2} = \dfrac{1}{2} . \quad\cdots\cdots ① \]因为\[\overrightarrow {OP} = t\overrightarrow {OE} = \dfrac{1}{2}t\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) \overset{\left[c\right]} = \left(mt,0\right), \]（推导中用到：[c]）
又 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，所以\[\dfrac{{{{\left(mt\right)}^2}}}{2} = 1. \quad\cdots\cdots ② \]由 ①②，得\[{t^2} = 4 或 {t^2} = \dfrac{4}{3},\]又 $t > 0$，所以\[t = 2 或 t = \dfrac{2\sqrt 3 }{3}.\]（ii）当 $A$，$B$ 两点关于 $x$ 轴不对称时，设直线 $AB$ 的方程为 $y = kx + h$．
将其与椭圆的方程 $\dfrac{x^2}{2} + {y^2} = 1$ 联立，消 $y$ 得\[\left(1 + 2{k^2}\right){x^2} + 4khx + 2{h^2} - 2 = 0.\]设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$．
由判别式 $\Delta > 0$ 可得\[1 + 2{k^2} > {h^2},\]此时\[\begin{split} {x_1} + {x_2} &= - \dfrac{4kh}{{1 + 2{k^2}}}, {x_1}{x_2} = \dfrac{{2{h^2} - 2}}{{1 + 2{k^2}}} ,\\ {y_1} + {y_2} &= k\left({x_1} + {x_2}\right) + 2h = \dfrac{2h}{{1 + 2{k^2}}},\end{split} \]所以\[\begin{split}|AB| &= \sqrt {1 + {k^2}} \times \sqrt {{{\left({x_1} + {x_2}\right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\
&= 2\sqrt 2 \times \sqrt {1 + {k^2}} \times \dfrac{{\sqrt {1 + 2{k^2} - {h^2}} }}{{1 + 2{k^2}}}.\end{split}\]因为点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离\[d = \dfrac{ \left|h \right|}{{\sqrt {1 + {k^2}} }},\]所以 $\triangle AOB$ 的面积\[\begin{split}{S_{\triangle AOB}} &= \dfrac{1}{2} \left|AB \right|d \\&= \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt 2 \times \sqrt {1 + {k^2}} \times \dfrac{{\sqrt {1 + 2{k^2} - {h^2}} }}{{1 + 2{k^2}}} \times \dfrac{|h|}{{\sqrt {1 + {k^2}} }}\\
&= \sqrt 2 \times \dfrac{{\sqrt {1 + 2{k^2} - {h^2}} }}{{1 + 2{k^2}}} \times |h|.\end{split}\]又 ${S_{\triangle AOB}} = \dfrac{\sqrt 6 }{4}$，所以\[\sqrt 2 \times \dfrac{{\sqrt {1 + 2{k^2} - {h^2}} }}{{1 + 2{k^2}}} \times |h| = \dfrac{\sqrt 6 }{4} . \quad\cdots\cdots ③ \]令 $n = 1 + 2{k^2}$，代入 ③ 整理得\[3{n^2} - 16{h^2}n + 16{h^4} = 0.\]解得\[n = 4{h^2} 或 n = \dfrac{4}{3}{h^2},\]即\[1 + 2{k^2} = 4{h^2} 或 1 + 2{k^2} = \dfrac{4}{3}{h^2} . \quad\cdots\cdots ④ \]因为\[\begin{split}\overrightarrow {OP} &= t\overrightarrow {OE} \\&= \dfrac{1}{2}t\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) \\& \overset{\left[c\right]}= \dfrac{1}{2}t\left({x_1} + {x_2},{y_1} + {y_2}\right)\\ &= \left( { - \dfrac{2kht}{{1 + 2{k^2}}},\dfrac{ht}{{1 + 2{k^2}}}} \right),\end{split}\]（推导中用到：[c]）
又 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，所以\[{t^2}\left[ {\dfrac{1}{2}{{\left( { - \dfrac{2kh}{{1 + 2{k^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{h}{{1 + 2{k^2}}}} \right)}^2}} \right] = 1,\]即\[\dfrac{{{h^2}{t^2}}}{{1 + 2{k^2}}} = 1. \quad\cdots\cdots ⑤ \]将 ④ 代入 ⑤，得\[{t^2} = 4 或 {t^2} = \dfrac{4}{3}.\]又 $t > 0$，故\[t = 2 或 t = \dfrac{2\sqrt 3 }{3}.\]经检验，适合题意．
综合（i）（ii），得\[t = 2 或 t = \dfrac{2\sqrt 3 }{3}.\]