已知函数 $f\left(x\right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \dfrac{\mathrm \pi} {12}} \right),x \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2013年高考广东卷（文）
【标注】
-
求 $f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right)$ 的值；标注答案$ f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right) = 1$．解析本小问考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．因为 $f\left(x\right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \dfrac{\mathrm \pi} {12}} \right)$，所以\[\begin{split} f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right) &= \sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {3} - \dfrac{\mathrm \pi} {12}} \right) \\&= \sqrt 2 \cos \dfrac{\mathrm \pi} {4}\\& \overset{\left[a\right]}= \sqrt 2 \times \dfrac{\sqrt 2 }{2} = 1. \end{split}\]（推导中用到：[a]）
-
若 $\cos \theta = \dfrac{3}{5}$，$\theta \in \left( {\dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2},2{\mathrm \pi} } \right)$，求 $f\left( {\theta - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)$．标注答案$ f\left( {\theta - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) = - \dfrac{1}{5} $．解析本小题是三角求值问题，需要对所求的值进行化简，分析需要并能求出的值，然后根据已知条件求出所需要的值即可．因为 $\theta \in \left( {\dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2},2{\mathrm \pi} } \right)$，所以由任意角的三角函数的定义可知 $\sin\theta <0$，于是由同角三角函数的关系可得\[\begin{split}\sin \theta &= - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\theta } \\ & = - \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^2}} \\ & = - \dfrac{4}{5}.\end{split} \]故\[\begin{split} f\left( {\theta - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) &= \sqrt 2 \cos \left( {\theta - \dfrac{\mathrm \pi} {6} - \dfrac{\mathrm \pi} {12}} \right) \\&= \sqrt 2 \cos \left( {\theta - \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) \\&\overset{\left[b\right]}= \sqrt 2 \times \left( {\dfrac{\sqrt 2 }{2}\cos \theta + \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin \theta } \right)\\
&= \cos \theta + \sin \theta \\&= \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5} = - \dfrac{1}{5} .\end{split}\]（推导中用到：[b]）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
