$z \in {\mathbb {C}}$，若 $\left| z \right| = 2$，则 $\left| {z - \dfrac{1}{z}} \right|$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年中国科学技术大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
$\left| {z - \dfrac{1}{z}} \right| = \left| {\dfrac{{{z^2} - 1}}{z}} \right| = \dfrac{{\left| {z + 1} \right|\left| {z - 1} \right|}}{2}$，而$${\left| {z + 1} \right|^2} + {\left| {z - 1} \right|^2} = \left( {z + 1} \right)\left( {\overline z + 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z - 1} \right) = 2z\overline z + 2 = 10,$$所以 $\left| {z - \dfrac{1}{z}} \right| \leqslant \dfrac{5}{2}$，当且仅当 $z=\pm 2{\rm i}$ 时等号成立．
题目
答案
解析
备注
