题目 设各项均为正数的数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，满足 $4{S_n} = a_{n + 1}^2 - 4n - 1$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，且 ${a_2}$，$ {a_5} $，${a_{14}}$ 构成等比数列． 问题1 证明：${a_2} = \sqrt {4{a_1} + 5} $； 答案1 略． 解析1 本小问由题中所给的通项与和的关系式，可以对 $n$ 赋值，求得 $a_1$，$a_2$ 的关系式，从而用 $a_1$ 表示 $a_2$．由 $4{S_n} = a_{n + 1}^2 - 4n - 1$，当 $n=1$ 时有\[4{S_1} = a_2^2 - 4 - 1,\]因为 $S_1=a_1$，所以\[4{a_1} = a_2^2 - 4 - 1,\]故\[a_2^2 = 4{a_1} + 5.\]因为 ${a_n} > 0$，于是\[{a_2} = \sqrt {4{a_1} + 5} .\] 备注1 问题2 求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式； 答案2 ${a_n} = 2n - 1\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$． 解析2 由题中所给的通项与和的关系，利用由通项与和的关系求通项的方法求出通项．因为\[4{S_n} = a_{n + 1}^2 - 4n - 1 , \quad\cdots\cdots ① \]所以当 $n \geqslant 2$ 时，\[4{S_{n - 1}} = a_n^2 - 4\left(n - 1\right) - 1 ,\quad\cdots\cdots ② \]由通项与和的关系作 $ ① - ② $ 得\[4{a_n} = a_{n + 1}^2 - a_n^2 - 4,\]即\[a_{n + 1}^2 = {\left({a_n} + 2\right)^2}\left(n \geqslant 2\right).\]因为 ${a_n} > 0$，所以 ${a_{n + 1}} = {a_n} + 2$，即\[{a_{n + 1}} - {a_n} = 2\left(n \geqslant 2\right).\]因为 ${a_2}$，$ {a_5} $，${a_{14}}$ 成等比数列，所以 $a_5^2 = {a_2}{a_{14}}$，即\[{\left({a_2} + 3 \times 2\right)^2} = {a_2}\left({a_2} + 12 \times 2\right).\]解得 ${a_2} = 3$．<br/>又由（1）知 ${a_2} = \sqrt {4{a_1} + 5} $，所以 ${a_1} = 1$，所以 ${a_2} - {a_1} = 2$．综上知\[{a_{n + 1}} - {a_n} = 2\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right),\]所以数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是首项为 $ 1$，公差为 $ 2 $ 的等差数列，所以数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为\[{a_n} = 2n - 1\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right) .\] 备注2 问题3 证明：对一切正整数 $n$，有 $\dfrac{1}{{{a_1}{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}{a_3}}} + \cdot \cdot \cdot + \dfrac{1}{{{a_n}{a_{n + 1}}}} < \dfrac{1}{2}$． 答案3 略． 解析3 本小问是证明不等式，证明数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和小于 $\dfrac{1}{2}$，数列的前 $n$ 项和是分式形式，可以尝试利用裂项求和的方法将其和求出，然后进行放缩证明．由（2）知，\[ \dfrac{1}{{{a_n}{a_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{\left(2n - 1\right)\left(2n + 1\right)}= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1}} \right), \]所以\[ \begin{split} \dfrac{1}{{{a_1}{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}{a_3}}} + \cdot \cdot \cdot + \dfrac{1}{{{a_n}{a_{n + 1}}}} &\overset{\left[a\right]}= \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \cdot \cdot \cdot + \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n +1}} \right) \\&= \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{2n + 1}} \right) \\&= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4n + 2} \\&< \dfrac{1}{2}.\end{split} \]（推导中用到：[a]） 备注3