证明：当 $x \in \left[0,1\right] $ 时，$\dfrac{\sqrt 2 }{2}x \leqslant \sin x \leqslant x$；
【难度】
【出处】
2013年高考辽宁卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
按不等式两边分别构造函数证明即可．记 $F\left(x\right) = \sin x - \dfrac{\sqrt 2 }{2}x$，则\[F'\left(x\right) = \cos x - \dfrac {\sqrt 2 } {2} .\]当 $x \in \left(0, {\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} }}{4}} \right)$ 时，$F'\left(x\right) > 0$，$F\left(x\right)$ 在 $\left[0,\dfrac {\mathrm{\mathrm \pi} } 4 \right]$ 上是增函数；
当 $x \in \left({\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} }}{4}},1 \right)$ 时，$F'\left(x\right) < 0$，$F\left(x\right)$ 在 $\left[\dfrac {\mathrm{\mathrm \pi} } 4 ,1\right]$ 上是减函数．
又 $ F\left(0\right) = 0$，$F\left(1\right) > 0$，所以当 $x \in \left[0,1\right] $ 时，$ F\left(x\right) \geqslant 0$，即\[ \sin x \geqslant \dfrac{\sqrt 2}{2}x .\]记 $ H\left(x\right) = \sin x - x $，则当 $x \in \left(0,1\right) $ 时，\[ H'\left(x\right) = \cos x - 1 < 0,\]所以 $ H\left(x\right) $ 在 $ \left[0,1\right] $ 上是减函数，则 $H\left(x\right) \leqslant H\left(0\right) = 0$，即\[\sin x \leqslant x .\]综上，$\dfrac{\sqrt 2 }{2}x \leqslant \sin x \leqslant x, x \in \left[0,1\right]$．
当 $x \in \left({\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} }}{4}},1 \right)$ 时，$F'\left(x\right) < 0$，$F\left(x\right)$ 在 $\left[\dfrac {\mathrm{\mathrm \pi} } 4 ,1\right]$ 上是减函数．
又 $ F\left(0\right) = 0$，$F\left(1\right) > 0$，所以当 $x \in \left[0,1\right] $ 时，$ F\left(x\right) \geqslant 0$，即\[ \sin x \geqslant \dfrac{\sqrt 2}{2}x .\]记 $ H\left(x\right) = \sin x - x $，则当 $x \in \left(0,1\right) $ 时，\[ H'\left(x\right) = \cos x - 1 < 0,\]所以 $ H\left(x\right) $ 在 $ \left[0,1\right] $ 上是减函数，则 $H\left(x\right) \leqslant H\left(0\right) = 0$，即\[\sin x \leqslant x .\]综上，$\dfrac{\sqrt 2 }{2}x \leqslant \sin x \leqslant x, x \in \left[0,1\right]$．
答案
解析
备注
