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设 $O$ 为坐标原点，$P$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^2=2px\left(p>0\right)$ 上任意一点，$M$ 是线段 $PF$ 上的点，且 $|PM|=2|MF|$，则直线 $OM$ 的斜率的最大值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt3}{3}$
B: $\dfrac23$
C: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D: $1$
【难度】
【出处】
2016年高考四川卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
    >
    定比分点坐标公式
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线中的参数取值及范围问题
【答案】
C
【解析】
根据题意，有 $F\left(\dfrac p2,0\right)$，设 $P(2pt^2,2pt)$，则根据定比分点坐标公式，有\[M\left(\dfrac {2pt^2+\dfrac p2\cdot 2}{1+2},\dfrac{2pt+0\cdot 2}{1+2}\right),\]于是直线 $OM$ 的斜率\[k=\dfrac{2t}{2t^2+1}\leqslant \dfrac{2t}{2\sqrt 2t}=\dfrac{\sqrt 2}2,\]等号当 $t=\dfrac{\sqrt 2}2$ 时取得，因此所求的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
题目 答案 解析 备注
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