题目 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 ${a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 3 bc$． 问题1 求 $A$； 答案1 $A = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6}$． 解析1 本题考查余弦定理的简单应用．由余弦定理得\[\begin{split}\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2bc} = \dfrac{ - \sqrt 3 bc}{2bc} = - \dfrac{\sqrt 3 }{2}.\end{split}\]又因为 $0 < A < {\mathrm \pi} $，所以 $A = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6}$． 备注1 问题2 设 $a = \sqrt 3 $，$S$ 为 $\triangle ABC$ 的面积，求 $S + 3\cos B\cos C$ 的最大值，并指出此时 $B$ 的值． 答案2 当 $B = \dfrac{\mathrm \pi} {12}$ 时，$S + 3\cos B\cos C$ 取最大值 $ 3 $． 解析2 本题考查正弦定理以及和差角公式的应用．由（1）得 $\sin A = \dfrac{1}{2}$．又由正弦定理及 $a = \sqrt 3 $ 得\[\begin{split}S &\overset{\left[a\right]}= \dfrac{1}{2}ab\sin C \\&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a\sin B}{\sin A} \cdot a\sin C \\&= 3\sin B\sin C,\end{split}\]（推导中用到：[a]）因此\[\begin{split}S + 3\cos B\cos C &= 3 \left(\sin B\sin C + \cos B\cos C \right) \\& \overset{\left[b\right]}= 3\cos \left(B - C \right).\end{split}\]（推导中用到：[b]）<br/>因为 $y=\cos x$ 在 $x=2k{\mathrm \pi} ,k\in Z$ 处取得最大值 $1$，<br/>所以，当 $B = C$，即 $B = \dfrac{{{\mathrm \pi} - A}}{2} = \dfrac{\mathrm \pi} {12}$ 时，$S + 3\cos B\cos C$ 取最大值 $ 3 $． 备注2