略

本题可证明 $BD$ 与 $AC$ 和 $PA$ 垂直．$PA$ 和 $BD$ 的垂直可利用线面垂直的性质定理证明，$AC$ 和 $BD$ 垂直可利用四边形 $ABCD$ 中的边角关系来证明．因为 $BC = CD$，所以 $\triangle BCD$ 为等腰三角形．
又 $\angle ACB = \angle ACD$，所以 $BD \perp AC$．
因为 $PA \perp $ 底面 $ABCD$，所以 $PA \perp BD$．
从而 $BD$ 与平面 $PAC$ 内两条相交直线 $PA,AC$ 都垂直，
所以 $BD \perp $ 平面 $PAC$．

$\dfrac{7}{4}$

三棱锥 $P-BDF$ 的体积可以用 $P-BCD$ 的体积减去 $F-BCD$ 的体积来计算．三棱锥 $P - BCD$ 的底面 $BCD$ 的面积为\[\begin{split}{S_{\triangle BCD}} &= \dfrac{1}{2}BC \cdot CD \cdot \sin \angle BCD\\&= \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3} \\&= \sqrt 3. \end{split}\]由 $PA \perp $ 底面 $ABCD$，得三棱锥 $P-BCD$ 的体积为\[\begin{split}{V_{P - BCD}} &= \dfrac{1}{3} \cdot {S_{\triangle BCD}} \cdot PA \\&= \dfrac{1}{3} \times \sqrt 3 \times 2\sqrt 3 \\&= 2.\end{split}\]由 $PF = 7FC$，得三棱锥 $F - BCD$ 的高为 $\dfrac{1}{8}PA$，所以它的体积为\[\begin{split}{V_{F - BCD}} &= \dfrac{1}{3} \cdot {S_{\triangle BCD}} \cdot \dfrac{1}{8}PA \\&= \dfrac{1}{3} \times \sqrt 3 \times \dfrac{1}{8} \times 2\sqrt 3 \\&= \dfrac{1}{4},\end{split}\]所以\[\begin{split}{V_{P - BDF}} &= {V_{P - BCD}} - {V_{F - BCD}} \\&= 2 - \dfrac{1}{4} \\&= \dfrac{7}{4}.\end{split}\]