题目 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为 $r$ 米，高为 $h$ 米，体积为 $V$ 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 $ 100 $ 元/平方米，底面的建造成本为 $ 160 $ 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 $12000{\mathrm \pi} $ 元（${\mathrm \pi} $ 为圆周率）． 问题1 将 $V$ 表示成 $r$ 的函数 $V\left(r\right)$，并求该函数的定义域； 答案1 $V \left(r \right) = {\mathrm \pi} {r^2}h = \dfrac{\mathrm \pi} {5} \left(300r - 4{r^3} \right)$．定义域为 $\left( {0,5\sqrt 3 } \right)$． 解析1 本题考查实际问题，利用题目信息构造函数解析式．因为蓄水池侧面的总成本为 $100 \cdot 2{\mathrm \pi} rh = 200{\mathrm \pi} rh$（元），<br/>底面的总成本为 $160{\mathrm \pi} {r^2}$ 元，所以蓄水池的总成本为 $ \left(200{\mathrm \pi} rh + 160{\mathrm \pi} {r^2} \right)$ 元．<br/>又根据题意\[200{\mathrm \pi} rh + 160{\mathrm \pi} {r^2} = 12000{\mathrm \pi} ,\]所以 $h = \dfrac{1}{5r} \left(300 - 4{r^2} \right)$，从而蓄水池的体积为\[V \left(r \right) = {\mathrm \pi} {r^2}h = \dfrac{\mathrm \pi} {5} \left(300r - 4{r^3} \right).\]因为 $r > 0$，又由 $h > 0$，可得 $r < 5\sqrt 3 $，<br/>故函数 $V \left(r \right)$ 的定义域为 $\left( {0,5\sqrt 3 } \right)$． 备注1 问题2 讨论函数 $V\left(r\right)$ 的单调性，并确定 $r$ 和 $h$ 为何值时该蓄水池的体积最大． 答案2 $V \left(r \right)$ 在 $\left(0,5\right)$ 上为增函数；在 $\left( {5,5\sqrt 3 } \right)$ 上为减函数．<br/>当 $r = 5$，$h = 8$ 时，该蓄水池的体积最大． 解析2 本题考查利用导数研究函数最值的相关问题．因为 $V \left(r \right) = \dfrac{\mathrm \pi} {5}\left(300r - 4{r^3}\right)$，所以\[V' \left(r \right) = \dfrac{\mathrm \pi} {5}\left(300 - 12{r^2}\right).\]令 $V' \left(r \right) = 0$，解得\[{r_1} = 5,{r_2} = - 5\]（因为 ${r_2} = - 5$ 不在定义域内，舍去）．<br/>当 $r \in \left(0,5\right)$ 时，$V' \left(r \right) > 0$，故 $V \left(r \right)$ 在 $\left(0,5\right)$ 上为增函数；<br/>当 $r \in \left( {5,5\sqrt 3 } \right)$ 时，$V' \left(r \right) < 0$，故 $V \left(r \right)$ 在 $\left( {5,5\sqrt 3 } \right)$ 上为减函数．<br/>由此可知，$V \left(r \right)$ 在 $r = 5$ 处取得最大值，此时 $h = 8$．<br/>即当 $r = 5$，$h = 8$ 时，该蓄水池的体积最大． 备注2