已知函数 $f\left(x\right) = \left(2{\cos ^2}x - 1\right)\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x$．
【难度】
【出处】
2013年高考北京卷（文）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期及最大值；标注答案$f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，最大值为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$．解析根据二倍角公式及和差角公式，将题中 $f\left(x\right)$ 转化为正弦型函数形式即可．由题意可得\[\begin{split}f\left(x\right) &= \left(2{\cos ^2}x - 1\right)\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x\\
&\overset{\left[a\right]} = \cos 2x\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x\\
&= \dfrac{1}{2}\left(\sin 4x + \cos 4x\right)\\
&\overset{\left[b\right]}= \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin \left( {4x + \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right),\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）
故 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $T=\dfrac{2{\mathrm \pi} }{4}=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，最大值为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$． -
若 $\alpha \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {2},{\mathrm \pi} } \right)$，且 $f\left(\alpha \right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，求 $\alpha $ 的值．标注答案$\alpha = \dfrac{{9{\mathrm \pi} }}{16}$．解析本题考查三角函数求值，熟知特殊角的三角函数值及三角函数的周期性是解决本题的关键．因为 $f\left(\alpha \right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，所以\[\sin \left( {4\alpha + \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) = 1.\]因为 $\alpha \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {2},{\mathrm \pi} } \right)$，所以\[4\alpha + \dfrac{\mathrm \pi} {4} \in \left( {\dfrac{{9{\mathrm \pi} }}{4},\dfrac{{17{\mathrm \pi} }}{4}} \right),\]所以\[4\alpha + \dfrac{\mathrm \pi} {4} \overset{\left[c\right]}= \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{2},\]（推导中用到：）
故 $\alpha = \dfrac{{9{\mathrm \pi} }}{16}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
