$a = 0$，$b = 1$．

本题考查导数的几何意义．曲线某点处的切线等于该点处的导数值．因为曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(a,f\left(a\right)\right)$ 处与直线 $y = b$ 相切，所以\[\begin{cases}f'\left(a\right) = a\left(2 + \cos a\right) \overset{\left[a\right]}= 0, \\ b = f\left(a\right),\end{cases}\]（推导中用到：[a]）
解得\[a = 0,b =1.\]

$b$ 的取值范围是 $\left(1, + \infty \right)$．

研究函数的单调性及极值和边界端点值是解决本题的关键．令 $f'\left(x\right) = 0$，得 $x = 0$．$f\left(x\right)$ 与 $f'\left(x\right)$ 的变化情况如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
x&\left(-\infty,0\right)&0&\left(0,+\infty\right)\\ \hline
f'\left(x\right)&-&0&+\\ \hline f\left(x\right)&\searrow&1&\nearrow \\ \hline \end{array}\]所以函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left( - \infty ,0\right)$ 上单调递减，在区间 $\left(0, + \infty \right)$ 上单调递增，$f\left(0\right) = 1$ 是 $f\left(x\right)$ 的最小值．
当 $b \leqslant 1$ 时，曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = b$ 最多只有一个交点；
当 $b > 1$ 时，\[\begin{split}f\left( - 2b\right) &= f\left(2b\right) \\& \geqslant 4{b^2} - 2b - 1 \\&> 4b - 2b - 1 \\&> b, \\ f\left(0\right)&= 1 < b,\end{split}\]所以存在 ${x_1} \in \left( - 2b,0\right)$，${x_2} \in \left( 0, 2b\right)$，使得\[f\left({x_1}\right) = f\left({x_2}\right) = b.\]由于函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left( - \infty ,0\right)$ 和 $\left(0, + \infty \right)$ 上均单调，
所以当 $b > 1$ 时，曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = b$ 有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = b$ 有两个不同交点，那么 $b$ 的取值范围是 $\left(1, + \infty \right)$．