$|AC| = 2\sqrt 3$．

本题考查椭圆中的几何性质转化求值．因为四边形 $OABC$ 为菱形，所以 $AC$ 与 $OB$ 互相垂直平分．所以可设 $A\left( {t,\dfrac{1}{2}} \right)$，代入椭圆方程得\[\dfrac{t^2}{4} + \dfrac{1}{4} = 1,\]即\[t = \pm \sqrt 3 ,\]所以\[|AC| = 2\sqrt 3 .\]

当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，四边形 $OABC$ 不可能是菱形．

本题考查椭圆问题中，几何描述代数化的能力．将“菱形”转化为“对角线互相垂直且平分”．假设四边形 $OABC$ 为菱形．
因为点 $B$ 不是 $W$ 的顶点，且 $AC \perp OB$，所以 $k \ne 0$．联立直线与椭圆的方程\[\begin{cases}
{x^2} + 4{y^2} = 4, \\
y = kx + m ,\\
\end{cases}\]消去 $y$ 并整理得\[\left(1 + 4{k^2}\right){x^2} + 8{km} x + 4{m^2} - 4 = 0.\]设 $A\left({x_1},{y_1}\right),C\left({x_2},{y_2}\right)$，则\[\begin{split}&\Delta =\left(8km\right)^2-4\left(1+4k^2\right)\left(4m^2-4\right)=64k^2-16m^2+16>0 ,\\& \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = - \dfrac{4km}{{1 + 4{k^2}}},\\&\dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = k \cdot \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + m = \dfrac{m}{{1 + 4{k^2}}},\end{split}\]所以 $AC$ 的中点为 $M\left( { - \dfrac{4km}{{1 + 4{k^2}}},\dfrac{m}{{1 + 4{k^2}}}} \right)$．
因为 $M$ 为 $AC$ 和 $OB$ 的交点，且 $m \ne 0,k \ne 0$，所以直线 $OB$ 的斜率为 $ - \dfrac{1}{4k}$．又\[k \cdot \left( { - \dfrac{1}{4k}} \right) \ne - 1,\]所以 $AC$ 与 $OB$ 不垂直，所以四边形 $OABC$ 不是菱形，与假设矛盾，所以当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，四边形 $OABC$ 不可能是菱形．