题目 给定数列 ${a_1}$，$ {a_2} $，$ \cdots $，${a_n}$，对 $i = 1$，$ 2 $，$ \cdots $，$n - 1$，该数列前 $i$ 项的最大值记为 ${A_i}$，后 $n - i$ 项 ${a_{i + 1}}$，$ {a_{i + 2}} $，$ \cdots $，${a_n}$ 的最小值记为 ${B_i}$，${d_i} = {A_i} - {B_i}$． 问题1 设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为 $ 3$，$ 4 $，$ 7 $，$1 $，写出 ${d_1}$，$ {d_2} $，${d_3}$ 的值； 答案1 ${d_1} = 2$，${d_2} = 3$，${d_3} = 6$． 解析1 本题考查对题意的解读，代入即可．略． 备注1 问题2 设 ${a_1}$，$ {a_2} $，$ \cdots $，${a_n}\left(n \geqslant 4\right)$ 是公比大于 $ 1 $ 的等比数列，且 ${a_1} > 0$，证明：${d_1}$，$ {d_2} $，$ \cdots $，${d_{n - 1}}$ 是等比数列； 答案2 略． 解析2 根据题中条件得出数列 $\left\{d_n\right\}$ 的通项公式是解决本题的关键．因为 ${a_1} > 0$，公比 $q > 1$，所以 ${a_1}$，$ {a_2} $，$ \cdots $，${a_n}$ 是递增数列．<br/>因此，对 $i = 1$，$ 2 $，$ \cdots $，$n - 1 $，${A_i} = {a_i}$，$ {B_i} = {a_{i + 1}}$．故 $i = 1$，$ 2 $，$ \cdots $，$n - 1$，\[{d_i} = {A_i} - {B_i} = {a_i} - {a_{i + 1}} = {a_1}\left(1 - q\right){q^{i - 1}}.\]因此，${d_i} \ne 0$ 且 $\dfrac{{{d_{i + 1}}}}{d_i} = q\left(i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n - 2\right)$，即 ${d_1}$，$ {d_2} $，$ \cdots $，$ {d_{n - 1}}$ 是等比数列． 备注2 问题3 设 ${d_1}$，$ {d_2} $，$ \cdots $，${d_{n - 1}}$ 是公差大于 $ 0 $ 的等差数列，且 ${d_1} > 0$，证明：${a_1}$，$ {a_2} $，$ \cdots $，${a_{n - 1}}$ 是等差数列． 答案3 略． 解析3 根据题中条件，将数列 $\left\{a_n\right\}$ 的连续两项的差转化为数列 $\left\{d_n\right\}$ 的连续两项的差即可．设 $d$ 为 ${d_1}$，$ {d_2} $，$ \cdots $，$ {d_{n - 1}}$ 的公差．<br/>对 $1 \leqslant i \leqslant n - 2$，因为 ${B_i} \leqslant {B_{i + 1}}$，$d > 0$，所以\[ \begin{split}{A_{i + 1}} &= {B_{i + 1}} + {d_{i + 1}} \\& \geqslant {B_i} + {d_i} + d \\& > {B_i} + {d_i} \\&= {A_i}.\end{split} \]又因为 ${A_{i + 1}} = \max \left\{ {{A_i},{a_{i + 1}}} \right\}$，所以\[{a_{i + 1}} = {A_{i + 1}} > {A_i} \geqslant {a_i}.\]从而 ${a_1}$，$ {a_2} $，$ \cdots $，$ {a_{n - 1}}$ 是递增数列．因此\[{A_i} = {a_i}\left(i = 1,2, \cdots ,n - 1\right).\]又因为\[{B_1} = {A_1} - {d_1} = {a_1} - {d_1} < {a_1},\]所以\[{B_1} < {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_{n - 1}}.\]因此 ${a_n} = {B_1}$，所以\[{B_1} = {B_2} = \cdots = {B_{n - 1}} = {a_n}.\]所以\[{a_i} = {A_i} = {B_i} + {d_i} = {a_n} + {d_i}.\]因此对 $i = 1 $，$ 2 $，$ \cdots $，$n - 2$ 都有\[{a_{i + 1}} - {a_i} = {d_{i + 1}} - {d_i} = d,\]即 ${a_1}$，$ {a_2} $，$ \cdots $，${a_{n - 1}}$ 是等差数列． 备注3